Números babilónicos
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Category Numeral systems
El sistema de numeración cuneiforme de base 60 utilizado en Mesopotamia desde aproximadamente el 2000 a. C. hasta el comienzo de la era común: el sistema de numeración posicional más antiguo que se conoce en el mundo y el antepasado directo de la forma en que todavía medimos el tiempo y los ángulos hoy en día.
Las dos cuñas
Los números babilónicos se construyen a partir de exactamente dos signos cuneiformes: una cuña vertical 𒁹 (Unicode U+12079) para el uno, y una cuña angular o winkelhaken 𒌋 (U+1230B) para el diez. Ambos se imprimían en tablillas de arcilla húmeda con un único punzón de caña triangular: el signo vertical se mantenía erguido y el signo angular se giraba. Todo en el sistema se construye repitiendo y disponiendo estas dos marcas.
Para escribir los dígitos del 1 al 59, los escribas apilaban hasta cinco winkelhaken para las decenas y hasta nueve cuñas verticales para las unidades, agrupadas ordenadamente en filas para que un lector alfabetizado pudiera contarlas de un vistazo. Por ejemplo:
- 1 — 𒁹
- 5 — 𒐊 (cinco cuñas verticales dispuestas en una fila)
- 10 — 𒌋
- 23 — 𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹 (dos decenas, tres unidades)
- 59 — cinco winkelhaken seguidos de nueve cuñas, el mayor dígito único que el sistema representa
Base 60, posicional
El sistema babilónico es posicional: el mismo dígito significa cantidades diferentes según el lugar que ocupe. Pero la base es 60, no 10. Un número de dos posiciones como 𒁹 𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹 significa «1 sesenta más 23 unidades», o sea 83. Tres posiciones significan centenas de sesentas —60 × 60 = 3600— y así sucesivamente.
El sesenta es una base notable por la que decidirse. Se divide exactamente entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30 —más divisores que cualquier número menor, y más también que los siguientes varios números mayores—. Eso hace que la aritmética con fracciones sea muchísimo más fácil: un tercio de 60 es 20 sin resto; un cuarto es 15; un quinto es 12. Los mismos cálculos en base 10 dan decimales periódicos. Para los escribas que hacían astronomía, agrimensura y contabilidad del grano en tablillas de arcilla —sin nuestra noción de «coma decimal»—, la divisibilidad del 60 fue un golpe de genialidad práctica.
¿Por qué precisamente 60? La conjetura clásica, que se remonta a Teón de Alejandría, era su rica divisibilidad. Otto Neugebauer, en el siglo XX, sostuvo que surgió de la fusión de dos tradiciones de conteo anteriores —un sistema mercantil de base 6 y un sistema de base 10— cuando las poblaciones sumeria y acadia se fundieron. Ninguna explicación está zanjada. Lo que sí está zanjado es que el sistema funcionaba: los astrónomos babilónicos lo usaron para calcular las posiciones lunares y planetarias con una precisión que asombró a los griegos que heredaron sus tablas.
El cero ausente (y el marcador de posición que acabó apareciendo)
Los primeros números babilónicos no tenían cero. Una posición intermedia vacía simplemente se dejaba en blanco, y el lector tenía que deducir del contexto si 𒁹 𒁹 significaba 1 × 60 + 1 = 61, o 1 × 3600 + 0 × 60 + 1 = 3601, o algo mayor. Esto era viable para la contabilidad cotidiana, pero un verdadero obstáculo en la astronomía de precisión.
Hacia el período seléucida (alrededor del 300 a. C.), los escribas babilónicos introdujeron un signo marcador de posición —normalmente dos pequeñas cuñas inclinadas— para señalar una posición intermedia vacía. No se trata de un cero en el sentido moderno: nunca se usó como dígito final (ningún escriba escribía «30 0» para indicar treinta) y no tenía significado aritmético por sí solo. Pero resolvió el problema de la ambigüedad, y es el uso más antiguo que se conoce de un marcador de posición posicional en cualquier civilización. El cero algebraico pleno —un número al que puedes sumar y con el que puedes multiplicar— no llegaría hasta mil años después, en la India.
Por qué seguimos usando la base 60
El sistema babilónico es único entre las numeraciones antiguas porque nunca llegó a desaparecer del todo. Cuando los griegos adoptaron las tablas astronómicas babilónicas, conservaron las subdivisiones sexagesimales para la medida de ángulos y de tiempo, aun cuando calculaban recuentos enteros en su propio sistema alfabético. Los romanos mantuvieron la convención. Los astrónomos islámicos la preservaron y la perfeccionaron durante el período medieval. Para cuando la revolución científica europea reconstruyó la astronomía y la trigonometría, las subdivisiones sexagesimales babilónicas estaban tan arraigadas en las herramientas de trabajo que nadie propuso en serio sustituirlas.
Esa herencia es la razón por la que, cuatro mil años después, todavía:
- Lees el tiempo como 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora.
- Mides los ángulos como 360 grados en un círculo (6 × 60), con cada grado subdividido en 60 minutos de arco y cada minuto de arco en 60 segundos de arco.
- Expresas las coordenadas geográficas en grados, minutos y segundos de arco.
- Oyes «y media» o «menos cuarto», expresiones que existen porque 60 tiene mitades y cuartos limpios que el 100 no tiene.
Toda esfera de reloj es un artefacto babilónico. Los experimentos de tiempo decimal de la Revolución francesa —10 horas por día, 100 minutos por hora, 100 segundos por minuto— duraron unos dos años antes de ser abandonados. La base 60 había ganado, y ganó en parte porque las cuentas son más fáciles.
Cómo leer un número babilónico en este sitio
NumberWiki muestra los números babilónicos en cada página de número, del 1 hasta 12 960 000 (60⁴ − 1). La posición sexagesimal más significativa está a la izquierda, separada de las posiciones inferiores por un espacio estrecho. Cuando una posición intermedia está vacía, mostramos un punto medio (·) para facilitar la lectura; es una convención editorial moderna, ya que las tablillas clásicas simplemente dejaban un hueco.
Algunos ejemplos para leer:
- 60 — 𒁹 · (un sesenta, cero unidades)
- 144 — 𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹 (dos sesentas, veinticuatro unidades)
- 3600 — 𒁹 · · (uno × 60² con dos posiciones vacías)
- 86400 — los segundos de un día, mostrados en su base nativa
El marco histórico
La escritura cuneiforme apareció por primera vez en el sur de Mesopotamia hacia el 3200 a. C. como un sistema de pictogramas impresos en arcilla. La numeración sexagesimal posicional madura surgió con el período babilónico antiguo (aproximadamente 2000-1600 a. C.), bajo la dinastía de Hammurabi. A partir de ahí fue el estándar para las matemáticas y la astronomía en todo el mundo mesopotámico —usado por los asirios, los neobabilónicos y las administraciones persa y seléucida que les siguieron— hasta bien entrada la era común. Las últimas tablillas astronómicas cuneiformes datables son de alrededor del 75 d. C., y la última tablilla cuneiforme de cualquier tipo está fechada en el 79 d. C., el mismo año en que el Vesubio destruyó Pompeya. Para entonces el sistema tenía más de dos mil años.
El estándar Unicode añadió el cuneiforme en la versión 5.0 (julio de 2006), lo que por fin hizo posible representar los números babilónicos como texto vivo en las páginas web, que es lo que ves por todo este sitio. Los puntos de código pertinentes viven en el bloque cuneiforme U+12000-U+123FF; los dos signos numéricos que usamos son U+12079 (𒁹, cuña simple) y U+1230B (𒌋, winkelhaken). Para verlos en tu propio dispositivo necesitas una fuente con cobertura cuneiforme (Noto Sans Cuneiform es la opción gratuita estándar y viene incluida con la mayoría de los sistemas operativos modernos).
Los primeros 30 números en babilónico
Cada casilla enlaza con la página de ese número. Dentro de una misma posición sexagesimal, la cuña (𒁹) y el winkelhaken (𒌋) simplemente se acumulan.
Lecturas adicionales
- Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History (Princeton University Press, 2008) — el tratamiento moderno definitivo de la práctica matemática babilónica en su contexto cultural.
- Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity (Dover, segunda edición de 1969) — el estudio clásico, todavía imprescindible sobre la astronomía.
- Asger Aaboe, Episodes from the Early History of Mathematics (Mathematical Association of America, 1964) — capítulo accesible sobre la aritmética sexagesimal.
- La Cuneiform Digital Library Initiative (cdli.mpiwg-berlin.mpg.de) — escaneos y transliteraciones de acceso abierto de decenas de miles de tablillas originales.
Véase también
- Números jeroglíficos egipcios — el sistema aditivo de base 10 que surgió de forma contemporánea a mil seiscientos kilómetros al oeste.
- Números mayas — otro sistema posicional independiente, este de base 20 y con un cero propiamente dicho.
- 60 — la base.
- 3600 — 60².
- 86400 — los segundos de un día; la unidad moderna derivada directamente de la medición del tiempo babilónica.