Nombres triangulaires

Published juin 20, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

Un nombre triangulaire compte les points nécessaires pour construire un triangle plein : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Additionnez les entiers de 1 à k et vous obtenez le k-ième nombre triangulaire. Ce sont les plus aimables des nombres figurés, et ils cachent une quantité surprenante de mathématiques.

Empiler des points en triangles

Imaginez des quilles de bowling ou un triangle de boules de billard. Un point est le premier nombre triangulaire. Ajoutez en dessous une rangée de deux : trois points (3). Ajoutez une rangée de trois : six (6). Ajoutez une rangée de quatre : dix (10) — le triangle de bowling. Chaque nouvelle rangée ajoute un point de plus que la précédente, de sorte que le k-ième nombre triangulaire est le total cumulé de 1 + 2 + 3 + ⋯ + k :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …

Gauss et le raccourci

Il existe une forme close : le k-ième nombre triangulaire est T_k = k(k+1)/2. L'histoire que l'on raconte habituellement pour l'expliquer met en scène un jeune Carl Friedrich Gauss. Selon l'anecdote, son instituteur — espérant quelques minutes de tranquillité — demanda à la classe d'additionner tous les entiers de 1 à 100. Gauss donna la réponse presque aussitôt : 5050.

Son astuce est la démonstration de la formule. Écrivez la somme à l'endroit et à l'envers et additionnez les colonnes :

  1 +  2 +  3 + … + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … +  3 +  2 +   1

Chaque colonne donne 101, et il y a 100 colonnes, soit 100 × 101 = 10 100 — mais cela compte chaque nombre deux fois, donc le total réel en est la moitié : 5050 = 100 · 101 / 2. Le même raisonnement avec k à la place de 100 donne T_k = k(k+1)/2. (Les historiens doutent que l'anecdote scolaire soit littéralement vraie, mais elle saisit une idée authentique et magnifique.)

Deux triangles forment un carré

Les nombres triangulaires sont tissés dans le reste de l'arithmétique. L'identité la plus nette : deux nombres triangulaires consécutifs s'additionnent en un carré parfait. T_k−1 + T_k = k². Par exemple, T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16 = 4². Géométriquement, deux dispositions triangulaires s'emboîtent pour former une grille carrée.

Quelques autres apparitions :

• Le décompte des poignées de main. Dans une salle de k+1 personnes, le nombre de poignées de main distinctes est T_k — c'est pourquoi les nombres triangulaires sont aussi les coefficients binomiaux $\binom{k+1}{2}$, qui comptent les façons de choisir 2 parmi k+1.
• Tout nombre parfait pair est triangulaire. 6, 28, 496, 8128 sont tous triangulaires — conséquence de la forme d'Euclide–Euler 2^p−1(2^p−1).
• Les nombres hexagonaux en sont un sous-ensemble. Tout nombre hexagonal est triangulaire (ceux d'indice impair), de sorte que les deux familles se recoupent largement.
• Les doubles sont les nombres pronique. Le double d'un nombre triangulaire, k(k+1), est un nombre pronique (oblong).

Le théorème Eurêka de Gauss

Les nombres triangulaires sont au cœur de l'un des plus jolis résultats de la théorie des nombres. En 1796, Gauss consigna dans son journal cette unique ligne triomphante — « ΕΥΡΗΚΑ ! num = Δ + Δ + Δ » — en démontrant que tout entier positif est la somme d'au plus trois nombres triangulaires. (Le Δ représente un nombre triangulaire.) Par exemple, 50 = 1 + 21 + 28 et 100 se forme lui aussi à partir de trois triangulaires. C'est un cas particulier du théorème des nombres polygonaux de Fermat, qui affirme que tout entier est une somme d'au plus m nombres m-gonaux.

Curiosités

• Les seuls nombres de Fibonacci qui sont aussi triangulaires sont 1, 3, 21 et 55 — une liste finie.
• Les nombres triangulaires carrés — à la fois carré et triangle — sont infinis mais rares : 1, 36, 1225, 41616, 1413721, … engendrés à partir des nombres de Pell.
• T₃₆ = 666, le « nombre de la bête », est la somme de 1 à 36 — et 36 est lui-même à la fois carré et triangulaire.
• Les racines numériques des nombres triangulaires se répètent avec une période de neuf : 1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9, puis recommencent.

Les nombres triangulaires sur NumberWiki

Les nombres triangulaires sont détectés sur chaque page et étiquetés triangulaire, et le résumé synthétisé indique l'indice (p. ex. « le 17^e nombre triangulaire »). Les familles de nombres figurés étroitement liées ont chacune leur propre étiquette : carrés, pentagonaux, hexagonaux, tétraédriques (l'analogue en 3D) et nombres pronique. Commencez par 1, 3, 6, 10, 55 et 666.

Pour aller plus loin

• John H. Conway et Richard K. Guy, The Book of Numbers (Springer, 1996) — un chapitre magnifiquement illustré sur les nombres figurés.
• Martin Gardner, Mathematical Carnival (Knopf, 1975) — récréations autour des nombres triangulaires et figurés.
• Ross Honsberger, Mathematical Gems (MAA) — démonstrations élégantes faisant intervenir les nombres triangulaires.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A000217 — les nombres triangulaires.

Voir aussi

• Nombres parfaits — ils sont tous triangulaires.
• Nombres de Fibonacci — seuls 1, 3, 21 et 55 sont aussi triangulaires.
• Tous les nombres triangulaires sur NumberWiki →
• 6 · 10 · 55 · 666