Números triangulares

Published junio 20, 2026 · By NumberWiki

Un número triangular cuenta los puntos que se necesitan para construir un triángulo lleno: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Suma los números enteros desde 1 hasta k y obtendrás el k-ésimo número triangular. Son los más amables de los números figurados, y esconden una sorprendente cantidad de matemáticas.

Apilar puntos en triángulos

Imagina los bolos o un triángulo de bolas de billar. Un punto es el primer número triangular. Añade debajo una fila de dos: tres puntos (3). Añade una fila de tres: seis (6). Añade una fila de cuatro: diez (10) — el triángulo de los bolos. Cada nueva fila añade un punto más que la anterior, de modo que el k-ésimo número triangular es el total acumulado de 1 + 2 + 3 + ⋯ + k:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …

Gauss y el atajo

Existe una fórmula cerrada: el k-ésimo número triangular es T_k = k(k+1)/2. La historia que suele contarse para explicarlo tiene como protagonista a un joven Carl Friedrich Gauss. Según la anécdota, su maestro de escuela — con la esperanza de tener unos minutos de paz — pidió a la clase que sumara todos los números enteros del 1 al 100. Gauss dio la respuesta casi al instante: 5050.

Su truco es la demostración de la fórmula. Escribe la suma hacia delante y hacia atrás y suma las columnas:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

Cada columna suma 101, y hay 100 columnas, lo que da 100 × 101 = 10 100 — pero eso cuenta cada número dos veces, así que el total real es la mitad: 5050 = 100 · 101 / 2. El mismo argumento con k en lugar de 100 da T_k = k(k+1)/2. (Los historiadores dudan de que la anécdota escolar sea literalmente cierta, pero capta una idea genuina y hermosa.)

Dos triángulos forman un cuadrado

Los números triangulares están entretejidos en el resto de la aritmética. La identidad más limpia: dos números triangulares consecutivos suman un cuadrado perfecto. T_k−1 + T_k = k². Por ejemplo, T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16 = 4². Geométricamente, dos disposiciones triangulares encajan formando una cuadrícula cuadrada.

Algunas apariciones más:

El recuento de apretones de manos. En una sala con k+1 personas, el número de apretones de manos distintos es T_k — por eso los números triangulares son también los coeficientes binomiales $\binom{k+1}{2}$, que cuentan las maneras de elegir 2 entre k+1.
Todo número perfecto par es triangular. 6, 28, 496, 8128 son todos triangulares — consecuencia de la forma de Euclides–Euler 2^p−1(2^p−1).
Los números hexagonales son un subconjunto. Todo número hexagonal es triangular (los de índice impar), de modo que las dos familias se solapan ampliamente.
Los dobles son los números pronicos. El doble de un número triangular, k(k+1), es un número pronico (oblongo).

El teorema Eureka de Gauss

Los números triangulares sustentan uno de los resultados más bonitos de la teoría de números. En 1796 Gauss anotó en su diario la única línea triunfal — «ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ» — al demostrar que todo número entero positivo es la suma de a lo sumo tres números triangulares. (La Δ representa un número triangular.) Por ejemplo, 50 = 1 + 21 + 28 y 100 también se forma con tres triangulares. Es un caso particular del teorema de los números poligonales de Fermat, que afirma que todo entero es una suma de a lo sumo m números m-gonales.

Curiosidades

Los únicos números de Fibonacci que también son triangulares son 1, 3, 21 y 55 — una lista finita.
Los números triangulares cuadrados — a la vez cuadrado y triángulo — son infinitos pero raros: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, … generados a partir de los números de Pell.
T₃₆ = 666, el «número de la bestia», es la suma del 1 al 36 — y 36 es a su vez cuadrado y triangular.
Las raíces digitales de los números triangulares se repiten con periodo nueve: 1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9, y luego vuelven a empezar.

Los números triangulares en NumberWiki

Los números triangulares se detectan en todas las páginas y se etiquetan como triangular, y el resumen sintetizado indica el índice (p. ej. «el 17.º número triangular»). Las familias de números figurados estrechamente relacionadas tienen cada una su propia etiqueta: cuadrados, pentagonales, hexagonales, tetraédricos (el análogo tridimensional) y números pronicos. Empieza con 1, 3, 6, 10, 55 y 666.

Lecturas adicionales

John H. Conway y Richard K. Guy, The Book of Numbers (Springer, 1996) — un capítulo bellamente ilustrado sobre los números figurados.
Martin Gardner, Mathematical Carnival (Knopf, 1975) — pasatiempos con números triangulares y figurados.
Ross Honsberger, Mathematical Gems (MAA) — demostraciones elegantes que involucran números triangulares.
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, sucesión A000217 — los números triangulares.

Véase también

Números perfectos — todos ellos son triangulares.
Números de Fibonacci — solo 1, 3, 21 y 55 son también triangulares.
Todos los números triangulares en NumberWiki →
6 · 10 · 55 · 666