Dreieckszahlen

Published Juni 20, 2026 · By NumberWiki

Eine Dreieckszahl zählt die Punkte, die man braucht, um ein ausgefülltes Dreieck zu bauen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Addiert man die ganzen Zahlen von 1 bis k, erhält man die k-te Dreieckszahl. Sie sind die freundlichsten unter den figurierten Zahlen und verbergen eine überraschende Menge an Mathematik.

Punkte zu Dreiecken stapeln

Stellen Sie sich Bowlingkegel oder ein Dreieck aus Billardkugeln vor. Ein Punkt ist die erste Dreieckszahl. Fügen Sie darunter eine Reihe aus zwei hinzu: drei Punkte (3). Fügen Sie eine Reihe aus drei hinzu: sechs (6). Fügen Sie eine Reihe aus vier hinzu: zehn (10) — das Bowling-Dreieck. Jede neue Reihe fügt einen Punkt mehr hinzu als die vorige, sodass die k-te Dreieckszahl die laufende Summe von 1 + 2 + 3 + ⋯ + k ist:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …

Gauß und der Kniff

Es gibt eine geschlossene Formel: Die k-te Dreieckszahl ist T_k = k(k+1)/2. Die Geschichte, die man üblicherweise zur Erklärung erzählt, handelt von einem jungen Carl Friedrich Gauß. Der Anekdote zufolge trug sein Schullehrer — in der Hoffnung auf ein paar Minuten Ruhe — der Klasse auf, alle ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß lieferte die Antwort fast augenblicklich: 5050.

Sein Trick ist der Beweis der Formel. Schreiben Sie die Summe vorwärts und rückwärts und addieren Sie die Spalten:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

Jede Spalte ergibt 101, und es gibt 100 Spalten, also 100 × 101 = 10 100 — doch das zählt jede Zahl doppelt, sodass die tatsächliche Summe die Hälfte davon ist: 5050 = 100 · 101 / 2. Dasselbe Argument mit k anstelle von 100 ergibt T_k = k(k+1)/2. (Ob die Schulanekdote buchstäblich wahr ist, bezweifeln Historiker, doch sie fängt eine echte und schöne Idee ein.)

Zwei Dreiecke ergeben ein Quadrat

Dreieckszahlen sind in den Rest der Arithmetik eingewoben. Die sauberste Identität: Zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen ergeben zusammen ein vollkommenes Quadrat. T_k−1 + T_k = k². Zum Beispiel T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16 = 4². Geometrisch fügen sich zwei dreieckige Anordnungen zu einem quadratischen Gitter zusammen.

Einige weitere Auftritte:

Die Anzahl der Händedrücke. In einem Raum mit k+1 Personen ist die Anzahl der verschiedenen Händedrücke T_k — weshalb die Dreieckszahlen auch die Binomialkoeffizienten $\binom{k+1}{2}$ sind, die die Möglichkeiten zählen, 2 aus k+1 auszuwählen.
Jede gerade vollkommene Zahl ist eine Dreieckszahl. 6, 28, 496, 8128 sind allesamt Dreieckszahlen — eine Folge der Euklid-Euler-Form 2^p−1(2^p−1).
Sechseckszahlen sind eine Teilmenge. Jede Sechseckszahl ist eine Dreieckszahl (die mit ungeradem Index), sodass sich die beiden Familien reichlich überschneiden.
Die Doppelten sind die Rechteckszahlen. Das Doppelte einer Dreieckszahl, k(k+1), ist eine Rechteckszahl (pronische Zahl).

Gauß' Eureka-Theorem

Dreieckszahlen bilden den Kern eines der schönsten Ergebnisse der Zahlentheorie. Im Jahr 1796 hielt Gauß in seinem Tagebuch die eine triumphierende Zeile fest — „ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ“ — als er bewies, dass jede positive ganze Zahl die Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ist. (Das Δ steht für eine Dreieckszahl.) Zum Beispiel 50 = 1 + 21 + 28, und auch 100 lässt sich aus drei Dreieckszahlen bilden. Es ist ein Spezialfall des Fermatschen Polygonalzahlensatzes, der besagt, dass jede ganze Zahl eine Summe von höchstens m m-Eckszahlen ist.

Kuriositäten

Die einzigen Fibonacci-Zahlen, die zugleich Dreieckszahlen sind, sind 1, 3, 21 und 55 — eine endliche Liste.
Quadratische Dreieckszahlen — zugleich Quadrat und Dreieck — sind unendlich, aber selten: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, … erzeugt aus den Pell-Zahlen.
T₃₆ = 666, die „Zahl des Tieres“, ist die Summe von 1 bis 36 — und 36 ist selbst sowohl Quadrat- als auch Dreieckszahl.
Die Quersummenwurzeln der Dreieckszahlen wiederholen sich mit der Periode neun: 1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9, dann beginnt es von vorn.

Dreieckszahlen auf NumberWiki

Dreieckszahlen werden auf jeder Seite erkannt und mit triangular getaggt, und die zusammengefasste Übersicht nennt den Index (z. B. „die 17. Dreieckszahl“). Eng verwandte figurierte Familien haben jeweils ihren eigenen Tag: Quadratzahlen, Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen, Tetraederzahlen (das dreidimensionale Analogon) und Rechteckszahlen. Beginnen Sie mit 1, 3, 6, 10, 55 und 666.

Weiterführende Literatur

John H. Conway und Richard K. Guy, The Book of Numbers (Springer, 1996) — ein wunderschön illustriertes Kapitel über figurierte Zahlen.
Martin Gardner, Mathematical Carnival (Knopf, 1975) — Denksportaufgaben rund um Dreieckszahlen und figurierte Zahlen.
Ross Honsberger, Mathematical Gems (MAA) — elegante Beweise mit Dreieckszahlen.
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Folge A000217 — die Dreieckszahlen.

Siehe auch

Vollkommene Zahlen — sie alle sind Dreieckszahlen.
Fibonacci-Zahlen — nur 1, 3, 21 und 55 sind auch Dreieckszahlen.
Alle Dreieckszahlen auf NumberWiki →
6 · 10 · 55 · 666