Un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de ses diviseurs propres (tous les diviseurs positifs sauf le nombre lui-même). Les plus petits sont 6 = 1 + 2 + 3 et 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Euclide a démontré que si \(2^p - 1\) est premier (un nombre premier de Mersenne), alors \(2^{p-1}(2^p - 1)\) est parfait. Euler a prouvé la réciproque pour les parfaits pairs : tous ont cette forme. Ainsi, chaque nouveau premier de Mersenne découvert produit un nouveau nombre parfait pair.
Une grande question ouverte : existe-t-il des nombres parfaits impairs ? S'ils existent, ils doivent être supérieurs à \(10^{1500}\) et satisfaire de nombreuses contraintes. Personne ne le sait, mais la plupart des mathématiciens soupçonnent que non.