Un número perfecto es un entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios (todos los divisores positivos excepto el propio número). Los más pequeños son 6 = 1 + 2 + 3 y 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Euclides demostró que si \(2^p - 1\) es primo (un primo de Mersenne), entonces \(2^{p-1}(2^p - 1)\) es perfecto. Euler demostró el recíproco para los perfectos pares: todos tienen esa forma. Por tanto, cada nuevo primo de Mersenne descubierto produce un nuevo perfecto par.
Una gran pregunta sin resolver: ¿existen números perfectos impares? Si existen, deben ser mayores que \(10^{1500}\) y satisfacer numerosas condiciones restrictivas. Nadie lo sabe, pero la mayoría de los matemáticos sospechan que no.