Eine vollkommene Zahl ist eine positive ganze Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (alle positiven Teiler außer der Zahl selbst). Die kleinsten sind 6 = 1 + 2 + 3 und 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Euklid bewies, dass für eine Primzahl \(2^p - 1\) (eine Mersenne-Primzahl) die Zahl \(2^{p-1}(2^p - 1)\) vollkommen ist. Euler bewies die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen: sie alle haben diese Form. Jede neu entdeckte Mersenne-Primzahl liefert also eine neue gerade vollkommene Zahl.
Eine berühmte offene Frage: Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? Falls ja, müssen sie größer als \(10^{1500}\) sein und zahlreiche Einschränkungen erfüllen. Niemand weiß es, aber die meisten Mathematiker vermuten, dass es keine gibt.