Un nombre de Carmichael est un composé \(n\) tel que \(b^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}\) pour tout entier \(b\) coprime avec \(n\). Ce sont les pseudo-premiers absolus de Fermat — des composés qui se font passer pour premiers vis-à-vis du test de primalité de Fermat, quelle que soit la base coprime choisie.
Le plus petit nombre de Carmichael est 561 = 3 · 11 · 17. Le célèbre 1729 (le nombre taxicab de Hardy-Ramanujan) est aussi un nombre de Carmichael — c'est le troisième plus petit.
Le critère de Korselt (1899) les caractérise : \(n\) est un nombre de Carmichael si et seulement si il est sans facteur carré et, pour chaque diviseur premier \(p\) de \(n\), \((p - 1)\) divise \((n - 1)\).
Alford, Granville et Pomerance ont prouvé en 1994 qu'il existe une infinité de nombres de Carmichael. Ils expliquent pourquoi le test de primalité de Fermat seul n'est pas fiable ; les tests modernes comme Miller-Rabin et Baillie-PSW les détectent.