Eine Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl \(n\), sodass \(b^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}\) für jede zu \(n\) teilerfremde ganze Zahl \(b\) gilt. Sie sind die absoluten Fermat-Pseudoprimzahlen — zusammengesetzte Zahlen, die sich für jeden teilerfremden Basis-Wert als Primzahl im Fermat-Primzahltest tarnen.
Die kleinste Carmichael-Zahl ist 561 = 3 · 11 · 17. Die berühmte 1729 (die Hardy-Ramanujan-Taxizahl) ist ebenfalls eine Carmichael-Zahl — die drittkleinste.
Das Korselt-Kriterium (1899) charakterisiert sie: \(n\) ist eine Carmichael-Zahl genau dann, wenn \(n\) quadratfrei ist und für jeden Primteiler \(p\) von \(n\) gilt: \((p - 1)\) teilt \((n - 1)\).
Alford, Granville und Pomerance bewiesen 1994, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt. Sie sind der Grund, warum der Fermat-Primzahltest allein unsicher ist; moderne Tests wie Miller-Rabin und Baillie-PSW entdecken sie.