Nombres parfaits

Published juin 14, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

Un nombre parfait est exactement égal à la somme de ses diviseurs propres : les parties se rassemblent pour reformer le tout. Le premier est 6 = 1 + 2 + 3. On n'a jamais trouvé que 52 nombres parfaits, la question de savoir s'il en existe un impair est ouverte depuis plus de deux mille ans, et chaque nouvelle découverte fait la une de l'actualité mathématique mondiale.

La définition

Prenez un nombre et énumérez ses diviseurs propres : tous les diviseurs positifs sauf le nombre lui-même. Additionnez-les. Pour la plupart des nombres, la somme manque sa cible : soit elle reste en deçà (un nombre déficient, le sort de tout nombre premier, dont le seul diviseur propre est 1), soit elle dépasse (un nombre abondant, comme 12, dont les parties 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16). Un nombre parfait est le cas limite où la somme tombe exactement juste :

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128 — le quatrième et dernier que connaissait le monde antique

Après 8128, les écarts deviennent énormes. Le cinquième nombre parfait est 33 550 336 — il a fallu attendre le XV^e siècle pour le trouver — et le sixième est 8 589 869 056. Le 52^e et plus grand connu compte plus de 49 millions de chiffres.

La machine d'Euclide pour les fabriquer

Vers 300 av. J.-C., Euclide démontra une recette remarquable dans les Éléments (Livre IX, Proposition 36) : si 2^p − 1 est premier, alors 2^p−1(2^p − 1) est parfait. Essayez : pour p = 2, 2¹ × 3 = 6. Pour p = 3, 2² × 7 = 28. Pour p = 5, 2⁴ × 31 = 496. Chaque nombre parfait est une puissance de deux multipliée par un nombre premier inférieur d'une unité à la puissance de deux suivante — un nombre premier de la forme particulière que nous appelons aujourd'hui nombre premier de Mersenne.

Deux mille ans plus tard, Euler boucla la boucle : tout nombre parfait pair a la forme d'Euclide. Ce théorème d'Euclide-Euler est l'une des collaborations à la plus longue gestation en mathématiques — les deux moitiés de la preuve sont séparées par vingt siècles. Sa conséquence est frappante : trouver des nombres parfaits pairs et trouver des nombres premiers de Mersenne sont le même problème. Chacun des 52 nombres premiers de Mersenne connus donne exactement un nombre parfait, et réciproquement.

Le plus ancien problème ouvert des mathématiques

Tout nombre parfait connu est pair. Existe-t-il un nombre parfait impair ? Personne ne le sait — et la question est vraisemblablement le plus ancien problème non résolu de toutes les mathématiques, remontant aux Grecs. Ce que nous savons, c'est une longue liste de contraintes qu'un nombre parfait impair devrait satisfaire : il doit dépasser 10¹⁵⁰⁰, avoir au moins 101 facteurs premiers (au moins 10 distincts), son plus grand facteur premier doit dépasser 10⁸, et il doit avoir une forme algébrique très particulière établie par Euler. Carl Pomerance a donné un argument heuristique selon lequel aucun ne devrait exister ; les preuves resserrent sans cesse le nœud coulant sans jamais le refermer.

Une seconde question ouverte est tout aussi tenace : existe-t-il une infinité de nombres parfaits ? Cela revient à se demander s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne — conjecturé oui, rien de prouvé.

Numérologie, théologie et le nom

« Parfait » n'est pas une fioriture marketing moderne — le nom est ancien et était chargé de sens. Les pythagoriciens attribuaient une signification mystique à 6 et à 28. Les premiers commentateurs religieux notèrent que la création prit 6 jours et que le mois lunaire dure environ 28 jours ; saint Augustin, dans La Cité de Dieu, soutint que la causalité allait dans l'autre sens — « 6 est un nombre parfait, non parce que Dieu créa toutes choses en six jours ; c'est plutôt que Dieu créa toutes choses en six jours parce que le nombre est parfait. » Nicomaque de Gérase (v. 100 apr. J.-C.) catalogua les quatre premiers nombres parfaits et les enveloppa de philosophie morale : les nombres parfaits étaient équilibrés entre l'« excès » des nombres abondants et le « manque » des nombres déficients, comme les vertus entre les vices.

Nicomaque supposa aussi, à tort, que les nombres parfaits alternent leurs derniers chiffres 6, 8, 6, 8 et qu'il y en a un par nombre de chiffres. Les deux affirmations sont fausses — mais son catalogue resta la liste complète pendant treize siècles, ce qui est peut-être la plus longue durée pendant laquelle une conjecture erronée est restée incontestée faute de données.

La chasse aux nombres parfaits aujourd'hui

Grâce à Euclide-Euler, la chasse moderne aux nombres parfaits est la chasse aux nombres premiers de Mersenne, et cette chasse est industrialisée. Le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) coordonne des ordinateurs bénévoles depuis 1996 et a trouvé tous les nombres premiers record depuis lors. Chaque découverte est vérifiée par le test de Lucas-Lehmer — un test de primalité si efficace pour les candidats de Mersenne que des nombres comptant des dizaines de millions de chiffres peuvent être certifiés sur du matériel courant. Lorsque GIMPS confirme un nouveau nombre premier de Mersenne, un nouveau nombre parfait apparaît automatiquement, gratuitement et sans frais.

Les nombres parfaits sur NumberWiki

Les huit nombres parfaits qui tiennent dans un entier 64 bits sont reconnus automatiquement et étiquetés nombre parfait ; la classification d'abondance (déficient / parfait / abondant) est calculée sur chaque page de nombre à partir de σ(n). Familles apparentées à parcourir : nombres abondants, nombres déficients, nombres semi-parfaits (un sous-ensemble des diviseurs a pour somme n) et les rares nombres étranges (abondants mais non semi-parfaits). Commencez par 6, 28, 496 et 8128.

Pour aller plus loin

• Euclide, Éléments, Livre IX, Proposition 36 — la construction originale, lisible dans toute édition moderne (la traduction de Heath fait référence).
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chapitre 1 (1919 ; réimpression Dover) — cinquante pages denses consacrées à la seule histoire des nombres parfaits.
• Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2^e éd. 2004) — les nombres premiers de Mersenne et leur lien avec les nombres parfaits.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A000396 — les nombres parfaits.
• GIMPS (mersenne.org) — la recherche distribuée dont les découvertes prolongent cette liste.

Voir aussi

• Nombres premiers de Mersenne — l'autre moitié de l'équivalence d'Euclide-Euler.
• Nombres premiers — les briques élémentaires qui sous-tendent tout cela.
• Tous les nombres parfaits sur NumberWiki →
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