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Vollkommene Zahlen

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Category Concepts

Eine vollkommene Zahl ist genau gleich der Summe ihrer echten Teiler — die Teile fügen sich wieder zum Ganzen zusammen. Die erste ist 6 = 1 + 2 + 3. Es wurden bisher nur 52 vollkommene Zahlen gefunden, die Frage, ob eine ungerade existiert, ist seit mehr als zweitausend Jahren offen, und jede neue Entdeckung wird in der Mathematik zur Weltnachricht.

Die Definition

Nimm eine Zahl und liste ihre echten Teiler auf — jeden positiven Teiler außer der Zahl selbst. Addiere sie. Bei den meisten Zahlen verfehlt die Summe ihr Ziel: Entweder bleibt sie darunter (eine defiziente Zahl — das Schicksal jeder Primzahl, deren einziger echter Teiler 1 ist) oder sie schießt darüber hinaus (eine abundante Zahl, wie 12, deren Teile 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 ergeben). Eine vollkommene Zahl ist der Grenzfall, bei dem die Summe genau aufgeht:

Nach 8128 werden die Abstände gewaltig. Die fünfte vollkommene Zahl ist 33.550.336 — sie wurde erst im 15. Jahrhundert gefunden — und die sechste ist 8.589.869.056. Die 52. und größte bekannte hat über 49 Millionen Stellen.

Euklids Maschine zu ihrer Erzeugung

Um 300 v. Chr. bewies Euklid in den Elementen ein bemerkenswertes Rezept (Buch IX, Satz 36): Wenn 2p − 1 prim ist, dann ist 2p−1(2p − 1) vollkommen. Probiere es aus: für p = 2 ist 21 × 3 = 6. Für p = 3 ist 22 × 7 = 28. Für p = 5 ist 24 × 31 = 496. Jede vollkommene Zahl ist eine Zweierpotenz, multipliziert mit einer Primzahl, die um eins kleiner ist als die nächste Zweierpotenz — eine Primzahl jener besonderen Form, die wir heute Mersenne-Primzahl nennen.

Zweitausend Jahre später schloss Euler den Kreis: jede gerade vollkommene Zahl hat Euklids Form. Dieser Satz von Euklid-Euler ist eine der am längsten reifenden Zusammenarbeiten in der Mathematik — die beiden Hälften des Beweises liegen zwanzig Jahrhunderte auseinander. Seine Folge ist verblüffend: gerade vollkommene Zahlen zu finden und Mersenne-Primzahlen zu finden, ist dasselbe Problem. Jede der 52 bekannten Mersenne-Primzahlen liefert genau eine vollkommene Zahl und umgekehrt.

Das älteste offene Problem der Mathematik

Jede bekannte vollkommene Zahl ist gerade. Existiert eine ungerade vollkommene Zahl? Niemand weiß es — und die Frage ist vermutlich das älteste ungelöste Problem der gesamten Mathematik und reicht bis zu den Griechen zurück. Was wir wissen, ist eine lange Liste von Bedingungen, die eine ungerade vollkommene Zahl erfüllen müsste: Sie muss 101500 übersteigen, mindestens 101 Primfaktoren haben (mindestens 10 verschiedene), ihr größter Primfaktor muss 108 übersteigen, und sie muss eine ganz bestimmte algebraische Gestalt haben, die Euler ausgearbeitet hat. Carl Pomerance hat ein heuristisches Argument dafür gegeben, dass keine existieren sollte; die Beweise ziehen die Schlinge immer enger, ohne sie je zuzuziehen.

Eine zweite offene Frage ist ebenso hartnäckig: Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen? Das ist gleichbedeutend mit der Frage, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt — vermutet ja, bewiesen nichts.

Numerologie, Theologie und der Name

„Vollkommen“ ist kein modernes Marketing-Schmuckwort — der Name ist uralt und war mit Bedeutung aufgeladen. Die Pythagoreer maßen der 6 und der 28 mystische Bedeutung bei. Frühe religiöse Kommentatoren bemerkten, dass die Schöpfung 6 Tage dauerte und dass der Mondmonat etwa 28 Tage umfasst; der heilige Augustinus argumentierte in Vom Gottesstaat, die Ursächlichkeit verlaufe umgekehrt — „6 ist eine vollkommene Zahl, nicht weil Gott alle Dinge in sechs Tagen erschuf; vielmehr erschuf Gott alle Dinge in sechs Tagen, weil die Zahl vollkommen ist.“ Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) katalogisierte die ersten vier vollkommenen Zahlen und hüllte sie in Moralphilosophie: vollkommene Zahlen seien ausgewogen zwischen dem „Übermaß“ der abundanten Zahlen und dem „Mangel“ der defizienten, wie Tugenden zwischen Lastern.

Nikomachos vermutete außerdem fälschlicherweise, dass vollkommene Zahlen abwechselnd auf 6, 8, 6, 8 enden und dass es eine pro Stellenzahl gibt. Beide Behauptungen sind falsch — doch sein Katalog galt dreizehn Jahrhunderte lang als die vollständige Liste, was vielleicht der längste Zeitraum ist, in dem eine falsche Vermutung mangels Daten unwidersprochen blieb.

Die Jagd nach vollkommenen Zahlen heute

Wegen Euklid-Euler ist die moderne Jagd nach vollkommenen Zahlen die Jagd nach Mersenne-Primzahlen, und diese Jagd ist industrialisiert. Die Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) koordiniert seit 1996 freiwillige Rechner und hat seither jede Rekordprimzahl gefunden. Jede Entdeckung wird mit dem Lucas-Lehmer-Test überprüft — einem Primzahltest, der für Mersenne-Kandidaten so effizient ist, dass Zahlen mit Dutzenden Millionen Stellen auf gewöhnlicher Hardware zertifiziert werden können. Wenn GIMPS eine neue Mersenne-Primzahl bestätigt, kommt automatisch eine neue vollkommene Zahl hinzu, gratis und kostenlos.

Vollkommene Zahlen auf NumberWiki

Alle acht vollkommenen Zahlen, die in eine 64-Bit-Ganzzahl passen, werden automatisch erkannt und mit vollkommene Zahl getaggt; die Abundanz-Klassifikation (defizient / vollkommen / abundant) wird auf jeder Zahlenseite aus σ(n) berechnet. Verwandte Familien zum Stöbern: abundante Zahlen, defiziente Zahlen, semivollkommene Zahlen (eine Teilmenge der Teiler summiert sich zu n) und die seltenen seltsamen Zahlen (abundant, aber nicht semivollkommen). Beginne mit 6, 28, 496 und 8128.

Weiterführende Literatur

Siehe auch