Números perfectos

Published junio 14, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

Un número perfecto es exactamente igual a la suma de sus divisores propios: las partes vuelven a sumar el todo. El primero es 6 = 1 + 2 + 3. Solo se han encontrado 52 números perfectos, la cuestión de si existe uno impar lleva abierta más de dos mil años, y cada nuevo descubrimiento es noticia mundial en matemáticas.

La definición

Toma un número y enumera sus divisores propios: todos los divisores positivos salvo el propio número. Súmalos. Para la mayoría de los números la suma falla: o bien se queda corta (un número deficiente, el destino de todo número primo, cuyo único divisor propio es 1) o bien se pasa (un número abundante, como el 12, cuyas partes 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16). Un número perfecto es el caso límite en el que la suma cae justo:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128: el cuarto y último que conoció el mundo antiguo

Después del 8128 los saltos se vuelven enormes. El quinto número perfecto es 33 550 336, y hubo que esperar hasta el siglo XV para hallarlo, y el sexto es 8 589 869 056. El 52.º y mayor conocido tiene más de 49 millones de cifras.

La máquina de Euclides para fabricarlos

Hacia el año 300 a. C., Euclides demostró una receta notable en los Elementos (Libro IX, Proposición 36): si 2^p − 1 es primo, entonces 2^p−1(2^p − 1) es perfecto. Pruébalo: para p = 2, 2¹ × 3 = 6. Para p = 3, 2² × 7 = 28. Para p = 5, 2⁴ × 31 = 496. Cada número perfecto es una potencia de dos multiplicada por un primo que es uno menos que la siguiente potencia de dos: un primo de la forma especial que hoy llamamos primo de Mersenne.

Dos mil años después, Euler cerró el círculo: todo número perfecto par tiene la forma de Euclides. Este teorema de Euclides-Euler es una de las colaboraciones de más larga gestación en matemáticas: las dos mitades de la demostración están separadas por veinte siglos. Su consecuencia es asombrosa: encontrar números perfectos pares y encontrar primos de Mersenne son el mismo problema. Cada uno de los 52 primos de Mersenne conocidos produce exactamente un número perfecto, y viceversa.

El problema abierto más antiguo de las matemáticas

Todo número perfecto conocido es par. ¿Existe un número perfecto impar? Nadie lo sabe, y es probable que la cuestión sea el problema sin resolver más antiguo de todas las matemáticas, remontándose a los griegos. Lo que sí sabemos es una larga lista de restricciones que un número perfecto impar tendría que satisfacer: debe superar 10¹⁵⁰⁰, tener al menos 101 factores primos (al menos 10 distintos), su mayor factor primo debe superar 10⁸, y debe tener una forma algebraica muy particular elaborada por Euler. Carl Pomerance ha dado un argumento heurístico de que no debería existir ninguno; las demostraciones siguen apretando el lazo sin llegar nunca a cerrarlo.

Una segunda cuestión abierta es igual de obstinada: ¿hay infinitos números perfectos? Equivale a preguntar si hay infinitos primos de Mersenne: se conjetura que sí, no se ha demostrado nada.

Numerología, teología y el nombre

«Perfecto» no es un adorno publicitario moderno: el nombre es antiguo y venía cargado de significado. Los pitagóricos atribuían un significado místico al 6 y al 28. Los primeros comentaristas religiosos señalaron que la creación llevó 6 días y que el mes lunar dura aproximadamente 28 días; san Agustín, en La ciudad de Dios, sostuvo que la causalidad iba en sentido contrario: «6 es un número perfecto, no porque Dios creara todas las cosas en seis días; más bien, Dios creó todas las cosas en seis días porque el número es perfecto». Nicómaco de Gerasa (c. 100 d. C.) catalogó los primeros cuatro números perfectos y los envolvió en filosofía moral: los números perfectos estaban equilibrados entre el «exceso» de los números abundantes y la «carencia» de los deficientes, como las virtudes entre los vicios.

Nicómaco también supuso, erróneamente, que los números perfectos alternan sus cifras finales 6, 8, 6, 8 y que hay uno por cada número de cifras. Ambas afirmaciones son falsas, pero su catálogo se mantuvo como la lista completa durante trece siglos, lo que quizá sea el mayor tiempo que una conjetura errónea ha permanecido sin refutar por falta de datos.

La caza de números perfectos hoy

Gracias a Euclides-Euler, la caza moderna de números perfectos es la caza de primos de Mersenne, y esa caza está industrializada. La Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet (GIMPS) ha coordinado ordenadores voluntarios desde 1996 y ha encontrado todos los primos récord desde entonces. Cada descubrimiento se verifica con el test de Lucas-Lehmer: un test de primalidad tan eficiente para los candidatos de Mersenne que números con decenas de millones de cifras pueden certificarse en hardware común. Cuando GIMPS confirma un nuevo primo de Mersenne, aparece automáticamente un nuevo número perfecto, gratis y sin coste alguno.

Los números perfectos en NumberWiki

Los ocho números perfectos que caben en un entero de 64 bits se reconocen automáticamente y se etiquetan como número perfecto; la clasificación por abundancia (deficiente / perfecto / abundante) se calcula en la página de cada número a partir de σ(n). Familias relacionadas para explorar: números abundantes, números deficientes, números semiperfectos (un subconjunto de los divisores suma n) y los raros números extraños (abundantes pero no semiperfectos). Empieza con 6, 28, 496 y 8128.

Lecturas adicionales

• Euclides, Elementos, Libro IX, Proposición 36: la construcción original, legible en cualquier edición moderna (la traducción de Heath es la estándar).
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, Capítulo 1 (1919; reimpresión de Dover): cincuenta densas páginas dedicadas solo a la historia de los números perfectos.
• Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2.ª ed. 2004): los primos de Mersenne y su conexión con los números perfectos.
• La Enciclopedia en Línea de Sucesiones de Enteros, sucesión A000396: los números perfectos.
• GIMPS (mersenne.org): la búsqueda distribuida cuyos descubrimientos amplían esta lista.

Véase también

• Primos de Mersenne: la otra mitad de la equivalencia de Euclides-Euler.
• Números primos: los bloques de construcción que están debajo de todo.
• Todos los números perfectos en NumberWiki →
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