Nombres premiers de Mersenne

Published juin 16, 2026 · By NumberWiki

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier valant un de moins qu'une puissance de deux : 2^p − 1. Ils sont d'une rareté extrême — on n'en connaît que 52 — et pourtant ils détiennent un quasi-monopole sur le titre de « plus grand nombre premier connu », ils engendrent les nombres parfaits et ils font tourner l'un des projets de calcul bénévole les plus anciens d'internet.

La forme, et pourquoi l'exposant doit être premier

Écrivons le candidat sous la forme M_p = 2^p − 1. En binaire, c'est une chaîne de p uns : 7 s'écrit 111, 31 s'écrit 11111, 127 s'écrit 1111111 — les nombres de Mersenne sont les repunits binaires.

Si l'exposant est composé, le nombre se factorise toujours : chaque fois que a divise b, 2^a − 1 divise 2^b − 1 (la même algèbre qui rend un repunit décimal divisible par des repunits plus petits). Ainsi 2⁴ − 1 = 15 = 3 × 5 est condamné dès le départ. Un exposant premier est donc nécessaire — mais pas suffisant, et c'est dans cet écart que l'histoire devient intéressante : 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89. Exposant premier, résultat composé.

La suite connue commence par : M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇ = 127, M₁₃ = 8191, M₁₇ = 131 071, M₁₉ = 524 287, puis un saut jusqu'à M₃₁ = 2 147 483 647 — qui est aussi la valeur maximale d'un entier signé sur 32 bits, ce qui en fait à coup sûr le nombre premier de Mersenne le plus souvent rencontré par hasard.

Le moine qui a conjecturé

Marin Mersenne (1588-1648) était un frère minime français qui a joué le rôle de l'internet scientifique de son siècle — il a correspondu avec Descartes, Fermat, Pascal et Galilée, relayant les résultats à travers l'Europe alors que les revues n'existaient pas encore. En 1644, il publia une affirmation audacieuse : 2^p − 1 est premier pour p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 et composé pour tous les autres p inférieurs à 257.

La liste était fausse en cinq endroits — 67 et 257 ne marchent pas ; 61, 89 et 107 marchent — mais sa vérification a pris au monde près de trois cents ans. La correction la plus théâtrale survint en 1903, lorsque Frank Nelson Cole donna devant l'American Mathematical Society une conférence qui consista, dans son intégralité, à calculer en silence 2⁶⁷ − 1 sur un tableau noir, à multiplier 193 707 721 × 761 838 257 287 sur un autre, puis à se rasseoir sous une ovation debout. Il déclara plus tard que la recherche des facteurs lui avait pris « trois ans de dimanches ». Le nom resta attaché aux nombres malgré tout — un monument digne de l'époque où une bonne conjecture pouvait survivre à ses erreurs.

Le test de Lucas-Lehmer : pourquoi les Mersenne détiennent tous les records

Si le plus grand nombre premier connu est presque toujours un premier de Mersenne, ce n'est pas parce qu'ils sont fréquents — c'est parce qu'ils sont uniquement vérifiables. Le test de Lucas-Lehmer (Édouard Lucas, 1876, affiné par Derrick Lehmer en 1930) tranche la primalité de M_p au moyen d'une seule itération d'une simplicité désarmante : on part de s = 4 et on répète s ← s² − 2 (mod M_p) exactement p − 2 fois. Le nombre est premier si et seulement si le résultat est 0. Pas de factorisation, pas de hasard, pas d'incertitude.

Grâce à lui, Lucas certifia à la main en 1876 que M₁₂₇ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 est premier — un premier de 39 chiffres qui resta le record pendant 75 ans et demeure le plus grand jamais trouvé sans ordinateur. À l'arrivée des ordinateurs électroniques, le test fut la charge de travail idéale : en 1952, le programme de Raphael Robinson sur le SWAC trouva cinq nouveaux premiers de Mersenne en une seule année, plus que les deux siècles précédents réunis.

GIMPS et la chasse moderne

Depuis 1996, la recherche est l'affaire de la Great Internet Mersenne Prime Search, l'un des tout premiers projets bénévoles de calcul distribué. Chaque premier record depuis lors est une découverte de GIMPS, trouvé sur du matériel allant des PC de bureau jusqu'aux, plus récemment, parcs de GPU dans le cloud. Le record actuel, trouvé en octobre 2024, est 2^{136 279 841} − 1 — 41 024 320 chiffres — découvert par un ancien ingénieur de NVIDIA faisant tourner le premier client GIMPS de l'ère des GPU. Le prix permanent de l'Electronic Frontier Foundation pour un premier de 100 millions de chiffres reste à décrocher.

Existe-t-il une infinité de premiers de Mersenne ? On le conjecture — les heuristiques de Lenstra, Pomerance et Wagstaff prédisent même combien en attendre par ordre de grandeur — mais rien n'est démontré. Ils se raréfient vite : seulement 52 dans les 136 premiers millions d'exposants.

Là où ils touchent au reste des mathématiques

Nombres parfaits — d'après le théorème d'Euclide-Euler, chaque premier de Mersenne 2^p − 1 produit le nombre parfait pair 2^p−1(2^p − 1), et tous les nombres parfaits pairs surgissent de cette manière. Les deux chasses n'en font qu'une. Voir l' article sur les nombres parfaits.
Informatique — les nombres de Mersenne sont des motifs de bits tout en uns, si bien qu'ils apparaissent comme masques et comme maxima des types non signés ; M₃₁ = 2 147 483 647 vaut int.MaxValue dans la plupart des langages, et M₆₁ intervient dans le hachage modulaire rapide. Le Mersenne Twister, le générateur de nombres aléatoires le plus déployé des 30 dernières années, tire sa période 2¹⁹⁹³⁷ − 1 d'un premier de Mersenne.
Théorie des groupes — pour qu'une structure cyclique à 2^p éléments se comporte bien, les propriétés de divisibilité de M_p tranchent plusieurs questions de classification ; les premiers de Mersenne indexent aussi une famille de groupes simples via PSL(2, M_p).

Les premiers de Mersenne sur NumberWiki

Chaque page de nombre vérifie structurellement la primalité de Mersenne (n + 1 est-il une puissance de deux à exposant premier, et n est-il lui-même premier). Les membres sont étiquetés premier de Mersenne — tous, 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287 et 2147483647, figurent dans l'index permanent. Familles apparentées : repunits (l'analogue en base 10), puissances de deux (toujours d'une unité plus grandes) et nombres parfaits (les partenaires d'Euclide-Euler).

Pour aller plus loin

Les Prime Pages de Chris Caldwell (t5k.org) — la référence standard pour l'histoire et les records de Mersenne.
GIMPS (mersenne.org) — la recherche elle-même ; l'état de chaque exposant jamais testé.
Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2^e éd. 2004) — chapitre sur les nombres de Mersenne et le test de Lucas-Lehmer.
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A000668 — les premiers de Mersenne.

Voir aussi

Nombres parfaits — chaque premier de Mersenne en engendre un.
Nombres premiers — la théorie générale.
Tous les premiers de Mersenne sur NumberWiki →
2 147 483 647 — le premier de Mersenne présent dans tout bug de dépassement d'entier 32 bits.