Primos de Mersenne

Published junio 16, 2026 · By NumberWiki

Un primo de Mersenne es un número primo que vale uno menos que una potencia de dos: 2^p − 1. Son extraordinariamente raros — solo se conocen 52 — y, sin embargo, ostentan un cuasimonopolio sobre el título de «el mayor primo conocido», generan los números perfectos e impulsan uno de los proyectos de computación voluntaria más longevos de internet.

La forma, y por qué el exponente debe ser primo

Escribimos el candidato como M_p = 2^p − 1. En binario, eso es una cadena de p unos: 7 es 111, 31 es 11111, 127 es 1111111 — los números de Mersenne son los repunits en binario.

Si el exponente es compuesto, el número siempre se factoriza: siempre que a divide a b, 2^a − 1 divide a 2^b − 1 (la misma álgebra que hace que un repunit decimal sea divisible por repunits más pequeños). Así que 2⁴ − 1 = 15 = 3 × 5 está condenado desde el principio. Un exponente primo es, por tanto, necesario — pero no suficiente, y en esa brecha es donde la historia se pone interesante: 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89. Exponente primo, resultado compuesto.

La sucesión conocida empieza: M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇ = 127, M₁₃ = 8191, M₁₇ = 131 071, M₁₉ = 524 287, y luego un salto a M₃₁ = 2 147 483 647 — que también es el valor máximo de un entero con signo de 32 bits, lo que lo convierte sin duda en el primo de Mersenne con el que uno se topa por accidente más a menudo.

El monje que conjeturó

Marin Mersenne (1588-1648) fue un fraile mínimo francés que funcionó como el internet científico de su siglo — mantuvo correspondencia con Descartes, Fermat, Pascal y Galileo, transmitiendo resultados por toda Europa cuando las revistas científicas aún no existían. En 1644 publicó una afirmación audaz: 2^p − 1 es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y compuesto para todos los demás p por debajo de 257.

La lista estaba equivocada en cinco lugares — 67 y 257 no funcionan; 61, 89 y 107 sí — pero comprobarla le llevó al mundo casi trescientos años. La corrección más teatral llegó en 1903, cuando Frank Nelson Cole dio una charla en la American Mathematical Society que consistió, en su totalidad, en calcular en silencio 2⁶⁷ − 1 en una pizarra, multiplicar 193 707 721 × 761 838 257 287 en otra y sentarse en medio de una ovación de pie. Más tarde dijo que encontrar los factores le había costado «tres años de domingos». El nombre quedó ligado a los números de todos modos — un monumento adecuado a la época en que una buena conjetura podía sobrevivir a sus errores.

El test de Lucas-Lehmer: por qué los primos de Mersenne ostentan todos los récords

La razón por la que el mayor primo conocido es casi siempre un primo de Mersenne no es que sean comunes — es que son singularmente comprobables. El test de Lucas-Lehmer (Édouard Lucas, 1876, refinado por Derrick Lehmer en 1930) decide la primalidad de M_p con una sola iteración tremendamente simple: se empieza con s = 4 y se repite s ← s² − 2 (mod M_p) exactamente p − 2 veces. El número es primo si y solo si el resultado es 0. Sin factorización, sin azar, sin incertidumbre.

Con él, Lucas certificó a mano en 1876 que M₁₂₇ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 es primo — un primo de 39 dígitos que siguió siendo el récord durante 75 años y sigue siendo el mayor jamás hallado sin un ordenador. Cuando llegaron los ordenadores electrónicos, el test fue la carga de trabajo perfecta: en 1952 el programa de Raphael Robinson en el SWAC encontró cinco nuevos primos de Mersenne en un solo año, más que en los dos siglos anteriores juntos.

GIMPS y la cacería moderna

Desde 1996 la búsqueda pertenece a la Great Internet Mersenne Prime Search, uno de los primeros proyectos voluntarios de computación distribuida. Todo primo récord desde entonces es un descubrimiento de GIMPS, hallado en hardware que va desde PCs de oficina hasta, más recientemente, flotas de GPU en la nube. El récord actual, hallado en octubre de 2024, es 2^{136 279 841} − 1 — 41 024 320 dígitos — descubierto por un antiguo ingeniero de NVIDIA que ejecutaba el primer cliente de GIMPS de la era de las GPU. El premio permanente de la Electronic Frontier Foundation para un primo de 100 millones de dígitos sigue sin reclamar.

¿Hay infinitos primos de Mersenne? Se conjetura que sí — las heurísticas de Lenstra, Pomerance y Wagstaff predicen incluso cuántos cabe esperar por orden de magnitud — pero nada está demostrado. Escasean rápidamente: solo 52 en los primeros 136 millones de exponentes.

Donde tocan al resto de las matemáticas

Números perfectos — por el teorema de Euclides-Euler, cada primo de Mersenne 2^p − 1 produce el número perfecto par 2^p−1(2^p − 1), y todos los números perfectos pares surgen de este modo. Las dos cacerías son una sola. Véase el artículo sobre los números perfectos.
Computación — los números de Mersenne son patrones de bits todos a uno, por lo que aparecen como máscaras y como los máximos de los tipos sin signo; M₃₁ = 2 147 483 647 es int.MaxValue en la mayoría de los lenguajes, y M₆₁ figura en el hashing modular rápido. El Mersenne Twister, el generador de números aleatorios más utilizado de los últimos 30 años, toma su periodo 2¹⁹⁹³⁷ − 1 de un primo de Mersenne.
Teoría de grupos — para que una estructura cíclica de 2^p elementos se comporte bien, las propiedades de divisibilidad de M_p deciden varias cuestiones de clasificación; los primos de Mersenne también indexan una familia de grupos simples vía PSL(2, M_p).

Los primos de Mersenne en NumberWiki

Cada página de número comprueba estructuralmente la primalidad de Mersenne (si n + 1 es una potencia de dos con exponente primo, y si el propio n es primo). Los miembros llevan la etiqueta primo de Mersenne — todos los de 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287 y 2147483647 están en el índice permanente. Familias relacionadas: repunits (el análogo en base 10), potencias de dos (siempre uno mayor) y números perfectos (los socios de Euclides-Euler).

Lecturas adicionales

Las Prime Pages de Chris Caldwell (t5k.org) — la referencia estándar para la historia y los récords de Mersenne.
GIMPS (mersenne.org) — la búsqueda en sí; el estado de cada exponente jamás probado.
Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2.ª ed. 2004) — capítulo sobre los números de Mersenne y el test de Lucas-Lehmer.
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, sucesión A000668 — los primos de Mersenne.

Véase también

Números perfectos — cada primo de Mersenne genera uno.
Números primos — la teoría general.
Todos los primos de Mersenne en NumberWiki →
2 147 483 647 — el primo de Mersenne presente en todo error de desbordamiento de enteros de 32 bits.