Nombres amiables
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Category Concepts
Deux nombres sont amiables lorsque chacun est exactement la somme des diviseurs propres de l'autre. La plus petite paire — 220 et 284 — est connue depuis l'Antiquité, et la recherche d'autres paires s'étend des pythagoriciens à Fermat, Descartes et Euler, jusqu'à un adolescent qui repéra une paire que tous avaient manquée.
La définition
Rappelons que les diviseurs propres d'un nombre sont tous ses diviseurs positifs sauf lui-même. Additionnez-les et vous obtenez la somme aliquote du nombre. Un nombre parfait est égal à sa propre somme aliquote. Une paire amiable est l'étape suivante : deux nombres différents, chacun égal à la somme aliquote de l'autre.
Prenons 220 et 284 :
- Les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 — et leur somme vaut 284.
- Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71, 142 — et leur somme vaut 220.
Chaque nombre pointe vers l'autre. Là où un nombre parfait est « ami avec lui-même », les nombres amiables sont amis avec un partenaire — ce qui est exactement la manière dont les anciens les comprenaient.
Un symbole d'amitié
La paire (220, 284) était connue des pythagoriciens, qui l'investirent d'un poids symbolique : elle représentait l'amitié, l'harmonie et la bienveillance mutuelle. L'association persista pendant deux mille ans. Des auteurs arabes et européens médiévaux prescrivaient des talismans gravés de 220 et 284 pour s'assurer l'amour ; un récit évoque des personnes consommant de la nourriture marquée des deux nombres — l'un des partenaires mangeant 220, l'autre 284 — comme charme pour l'amour. Dans la Genèse, notèrent les commentateurs, Jacob donne à Ésaü 220 chèvres (200 chèvres et 20 boucs) en cadeau pour gagner la faveur de son frère — un nombre, suggéra le savant médiéval Abraham Azulai, choisi pour sa signification amiable.
La formule de Thābit ibn Qurra
Pendant des siècles, 220 et 284 restèrent seuls. Le premier véritable progrès vint à Bagdad au IXᵉ siècle, où le polymathe Thābit ibn Qurra démontra une règle remarquable : pour certaines valeurs de n, si les trois nombres p = 3·2n−1 − 1, q = 3·2n − 1, et r = 9·22n−1 − 1 sont tous premiers, alors 2n·p·q et 2n·r forment une paire amiable. Poser n = 2 régénère 220 et 284 ; n = 4 donne la paire 17 296 et 18 416.
La formule de Thābit fut étudiée plus avant par des mathématiciens islamiques ultérieurs — al-Fārisī et, au XVIIᵉ siècle, Muhammad Baqir Yazdi, qui trouva la paire 9 363 584 et 9 437 056 bien avant que les mathématiques européennes ne le rattrapent.
Fermat, Descartes et l'avalanche d'Euler
En s'appuyant sur la règle de Thābit, Fermat annonça la paire 17 296 / 18 416 en 1636, et Descartes apporta 9 363 584 / 9 437 056 en 1638 — toutes deux, à leur insu, des redécouvertes de ce que les mathématiciens islamiques possédaient déjà. Puis Leonhard Euler transforma le sujet : avec des méthodes plus générales, il publia une liste de 58 paires amiables en 1750, plus que tous ses prédécesseurs réunis. Pendant un temps, il sembla qu'Euler avait trouvé essentiellement toutes les petites.
La paire que tous ont manquée
Ce n'était pas le cas. En 1866, un Italien de seize ans, Nicolò Paganini (sans lien avec le violoniste), trouva la paire 1 184 et 1 210 — la deuxième plus petite paire amiable, assez petite pour que Fermat, Descartes et Euler aient pu la trouver à la main, et pourtant négligée par eux tous pendant des siècles. C'est une parfaite mise en garde contre l'idée que tous les petits cas sont déjà recensés, et c'est le genre de découverte qu'un adolescent patient, sans machinerie particulière, peut encore faire.
Les nombres amiables et la suite aliquote
Les paires amiables sont le cas le plus simple d'une idée plus profonde. Partez de n'importe quel nombre et prenez à plusieurs reprises la somme aliquote — la somme des diviseurs propres. Cette suite aliquote peut faire plusieurs choses : tomber à zéro (la plupart des nombres), se bloquer sur un nombre parfait (un point fixe), ou former une boucle. Une boucle de longueur deux est une paire amiable. Les boucles plus longues sont appelées nombres sociables — la plus petite est un cycle de 5 commençant à 12 496, et il existe un fameux cycle de 28 débutant à 14 316. Savoir si certaines suites aliquotes croissent indéfiniment sans jamais se refermer en boucle ni atteindre zéro est un célèbre problème ouvert ; le plus petit nombre dont le sort est inconnu est 276. NumberWiki montre le début de la suite aliquote sur la page de chaque nombre composé.
Ce que l'on sait, et ce que l'on ignore
Les recherches informatiques modernes ont trouvé plus d'un milliard de paires amiables. Pourtant, les questions fondamentales restent obstinément ouvertes :
- Existe-t-il une infinité de paires amiables ? On le croit, mais ce n'est pas démontré.
- Existe-t-il une paire amiable dont un nombre est impair et l'autre pair ? Aucune n'a jamais été trouvée.
- Existe-t-il une paire dont les deux membres sont premiers entre eux (sans facteur commun) ? S'il en existe une, elle doit être supérieure à 1067.
- Toute paire connue partage un facteur commun — et toutes les paires connues ont leurs deux membres de même parité (tous deux pairs, ou tous deux impairs).
Les nombres amiables sur NumberWiki
Les membres d'une paire amiable sont détectés automatiquement et étiquetés amiable ; la page affiche aussi la somme aliquote du nombre et le début de sa suite aliquote, afin que vous puissiez voir les deux partenaires se pointer l'un vers l'autre. Familles apparentées : nombres parfaits (points fixes aliquotes), nombres abondants et déficients. Les paires par lesquelles commencer : 220 et 284, 1 184 et 1 210, 2 620 et 2 924.
Pour aller plus loin
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chapitre 1 (1919 ; réimpression Dover) — l'histoire de référence des nombres amiables et parfaits.
- Martin Gardner, Mathematical Magic Show (Knopf, 1977) — un chapitre d'une délectation caractéristique sur les nombres amiables et l'histoire de Paganini.
- Paul Erdős, « On amicable numbers » (1955) — l'article montrant que les nombres amiables ont une densité nulle.
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A063990 — les nombres amiables.
Voir aussi
- Nombres parfaits — points fixes aliquotes ; les paires amiables en sont les cousines de longueur 2.
- Nombres premiers — les briques élémentaires derrière toute somme de diviseurs.
- Tous les nombres amiables sur NumberWiki →
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