Números amigos
Published · By NumberWiki
Category Concepts
Dos números son amigos cuando cada uno es exactamente la suma de los divisores propios del otro. El par más pequeño — 220 y 284 — se conoce desde la antigüedad, y la búsqueda de más de ellos recorre desde los pitagóricos, pasando por Fermat, Descartes y Euler, hasta un adolescente que descubrió un par que todos ellos habían pasado por alto.
La definición
Recordemos que los divisores propios de un número son todos sus divisores positivos excepto él mismo. Súmalos y obtienes la suma alícuota del número. Un número perfecto es igual a su propia suma alícuota. Un par amigo es el siguiente paso adelante: dos números distintos, cada uno igual a la suma alícuota del otro.
Tomemos 220 y 284:
- Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 — y suman 284.
- Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71, 142 — y suman 220.
Cada número apunta al otro. Mientras que un número perfecto es «amigo de sí mismo», los números amigos son amigos de un compañero — que es exactamente como los interpretaban los antiguos.
Un símbolo de amistad
El par (220, 284) era conocido por los pitagóricos, quienes lo dotaron de un peso simbólico: representaba la amistad, la armonía y la buena voluntad mutua. La asociación perduró durante dos mil años. Escritores árabes y europeos medievales prescribían talismanes grabados con 220 y 284 para asegurar el amor; un relato menciona a personas que consumían alimentos marcados con los dos números — uno de los miembros comía 220, el otro 284 — como amuleto para el romance. En el Génesis, señalaron los comentaristas, Jacob da a Esaú 220 cabras (200 cabras y 20 machos cabríos) como regalo para ganarse el favor de su hermano — un número, sugirió el erudito medieval Abraham Azulai, elegido por su significado amigo.
La fórmula de Thābit ibn Qurra
Durante siglos, 220 y 284 estuvieron solos. El primer avance real llegó en la Bagdad del siglo IX, donde el erudito Thābit ibn Qurra demostró una regla notable: para ciertos valores de n, si los tres números p = 3·2n−1 − 1, q = 3·2n − 1, y r = 9·22n−1 − 1 son todos primos, entonces 2n·p·q y 2n·r forman un par amigo. Tomando n = 2 se regeneran 220 y 284; n = 4 da el par 17.296 y 18.416.
La fórmula de Thābit fue estudiada posteriormente por matemáticos islámicos — al-Fārisī y, en el siglo XVII, Muhammad Baqir Yazdi, quien encontró el par 9.363.584 y 9.437.056 mucho antes de que las matemáticas europeas lo alcanzaran.
Fermat, Descartes y la avalancha de Euler
Partiendo de la regla de Thābit, Fermat anunció el par 17.296 / 18.416 en 1636, y Descartes aportó 9.363.584 / 9.437.056 en 1638 — ambos, sin saberlo, redescubrimientos de lo que los matemáticos islámicos ya tenían. Luego Leonhard Euler transformó la materia: con métodos más generales publicó una lista de 58 pares amigos en 1750, más que todos sus predecesores juntos. Durante un tiempo pareció que Euler había encontrado prácticamente todos los pequeños.
El par que todos pasaron por alto
No fue así. En 1866, un italiano de dieciséis años, Nicolò Paganini (sin parentesco con el violinista), encontró el par 1.184 y 1.210 — el segundo par amigo más pequeño, lo bastante pequeño como para que Fermat, Descartes y Euler pudieran haberlo encontrado a mano, y sin embargo pasado por alto por todos ellos durante siglos. Es una advertencia perfecta sobre dar por sentado que todos los casos pequeños están contabilizados, y es el tipo de descubrimiento que un adolescente paciente sin maquinaria especial todavía puede hacer.
Los números amigos y la sucesión alícuota
Los pares amigos son el caso más simple de una idea más profunda. Parte de cualquier número y toma repetidamente la suma alícuota — la suma de los divisores propios. Esta sucesión alícuota puede hacer varias cosas: caer a cero (la mayoría de los números), quedarse fija en un número perfecto (un punto fijo), o entrar en un bucle. Un bucle de longitud dos es un par amigo. Los bucles más largos se llaman números sociables — el más pequeño es un ciclo de 5 que comienza en 12.496, y existe un famoso ciclo de 28 que empieza en 14.316. Si algunas sucesiones alícuotas crecen para siempre sin cerrarse nunca en un bucle ni llegar a cero es un célebre problema abierto; el número más pequeño cuyo destino se desconoce es 276. NumberWiki muestra el inicio de la sucesión alícuota en la página de cada número compuesto.
Lo que se sabe y lo que no
Las búsquedas modernas por ordenador han encontrado más de mil millones de pares amigos. Sin embargo, las preguntas básicas siguen tercamente abiertas:
- ¿Hay infinitos pares amigos? Se cree que sí, pero no está demostrado.
- ¿Existe un par amigo en el que un número sea impar y el otro par? Nunca se ha encontrado ninguno.
- ¿Existe un par cuyos dos miembros sean coprimos (sin ningún factor común)? Si existe, debe ser mayor que 1067.
- Todo par conocido comparte un factor común — y todos los pares conocidos tienen ambos miembros con la misma paridad (ambos pares o ambos impares).
Los números amigos en NumberWiki
Los miembros de un par amigo se detectan automáticamente y se etiquetan como amigos; la página también muestra la suma alícuota del número y el inicio de su sucesión alícuota, de modo que puedas ver cómo los dos compañeros se apuntan el uno al otro. Familias relacionadas: números perfectos (puntos fijos alícuotas), números abundantes y deficientes. Los pares por los que empezar: 220 y 284, 1.184 y 1.210, 2.620 y 2.924.
Lecturas adicionales
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I, Capítulo 1 (1919; reimpresión de Dover) — la historia definitiva de los números amigos y perfectos.
- Martin Gardner, Mathematical Magic Show (Knopf, 1977) — un capítulo característicamente delicioso sobre los números amigos y la historia de Paganini.
- Paul Erdős, «On amicable numbers» (1955) — el artículo que demuestra que los números amigos tienen densidad cero.
- La On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, sucesión A063990 — los números amigos.
Véase también
- Números perfectos — puntos fijos alícuotas; los pares amigos son los primos de longitud 2.
- Números primos — los bloques constructivos detrás de toda suma de divisores.
- Todos los números amigos en NumberWiki →
- 220 · 284 · 1184 · 1210