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Befreundete Zahlen

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Category Concepts

Zwei Zahlen sind befreundet, wenn jede genau die Summe der echten Teiler der anderen ist. Das kleinste Paar — 220 und 284 — ist seit der Antike bekannt, und die Suche nach weiteren reicht von den Pythagoreern über Fermat, Descartes und Euler bis zu einem Jugendlichen, der ein Paar entdeckte, das ihnen allen entgangen war.

Die Definition

Erinnern wir uns, dass die echten Teiler einer Zahl all ihre positiven Teiler außer ihr selbst sind. Addiert man sie, erhält man die aliquote Summe der Zahl. Eine vollkommene Zahl ist gleich ihrer eigenen aliquoten Summe. Ein befreundetes Paar ist der nächste Schritt darüber hinaus: zwei verschiedene Zahlen, jede gleich der aliquoten Summe der anderen.

Nehmen wir 220 und 284:

Jede Zahl weist auf die andere. Während eine vollkommene Zahl „mit sich selbst befreundet" ist, sind befreundete Zahlen mit einem Partner befreundet — genau so, wie die Alten sie verstanden.

Ein Symbol der Freundschaft

Das Paar (220, 284) war den Pythagoreern bekannt, die ihm symbolisches Gewicht beimaßen: Es stand für Freundschaft, Harmonie und gegenseitiges Wohlwollen. Die Assoziation hielt sich zweitausend Jahre. Mittelalterliche arabische und europäische Autoren verschrieben Talismane mit den Zahlen 220 und 284, um Liebe zu sichern; ein Bericht erwähnt Menschen, die mit den beiden Zahlen markierte Speisen verzehrten — der eine Partner aß 220, der andere 284 — als Liebeszauber. In der Genesis, bemerkten die Kommentatoren, schenkt Jakob seinem Bruder Esau 220 Ziegen (200 weibliche und 20 männliche) als Gabe, um dessen Gunst zu gewinnen — eine Zahl, die der mittelalterliche Gelehrte Abraham Azulai für ihre befreundete Bedeutung als gewählt vermutete.

Die Formel von Thābit ibn Qurra

Jahrhundertelang standen 220 und 284 allein. Der erste echte Fortschritt kam im Bagdad des 9. Jahrhunderts, wo der Universalgelehrte Thābit ibn Qurra eine bemerkenswerte Regel bewies: Für gewisse Werte von n gilt, wenn die drei Zahlen p = 3·2n−1 − 1, q = 3·2n − 1 und r = 9·22n−1 − 1 alle prim sind, dann bilden 2n·p·q und 2n·r ein befreundetes Paar. Setzt man n = 2, ergeben sich wieder 220 und 284; n = 4 liefert das Paar 17.296 und 18.416.

Die Formel von Thābit wurde von späteren islamischen Mathematikern weiter untersucht — al-Fārisī und, im 17. Jahrhundert, Muhammad Baqir Yazdi, der das Paar 9.363.584 und 9.437.056 fand, lange bevor die europäische Mathematik aufholte.

Fermat, Descartes und Eulers Lawine

Ausgehend von Thābits Regel verkündete Fermat 1636 das Paar 17.296 / 18.416, und Descartes steuerte 1638 9.363.584 / 9.437.056 bei — beide, ohne es zu wissen, Wiederentdeckungen dessen, was die islamischen Mathematiker bereits besaßen. Dann verwandelte Leonhard Euler das Gebiet: Mit allgemeineren Methoden veröffentlichte er 1750 eine Liste von 58 befreundeten Paaren — mehr als alle vor ihm zusammen. Eine Zeit lang schien es, als hätte Euler im Wesentlichen alle kleinen gefunden.

Das Paar, das alle übersahen

Hatte er aber nicht. 1866 fand ein sechzehnjähriger Italiener, Nicolò Paganini (nicht verwandt mit dem Geiger), das Paar 1.184 und 1.210 — das zweitkleinste befreundete Paar, klein genug, dass Fermat, Descartes und Euler es von Hand hätten finden können, und doch von ihnen allen jahrhundertelang übersehen. Es ist ein perfektes Mahnbeispiel dafür, anzunehmen, dass die kleinen Fälle bereits alle erfasst seien, und es ist die Art von Entdeckung, die ein geduldiger Jugendlicher ohne besondere Hilfsmittel noch machen kann.

Befreundete Zahlen und die aliquote Folge

Befreundete Paare sind der einfachste Fall einer tieferen Idee. Beginne mit einer beliebigen Zahl und bilde wiederholt die aliquote Summe — die Summe der echten Teiler. Diese aliquote Folge kann mehrere Dinge tun: auf null fallen (die meisten Zahlen), an einer vollkommenen Zahl hängenbleiben (ein Fixpunkt) oder in einen Zyklus übergehen. Ein Zyklus der Länge zwei ist ein befreundetes Paar. Längere Zyklen heißen gesellige Zahlen — der kleinste ist ein 5er-Zyklus, der bei 12.496 beginnt, und es gibt einen berühmten 28er-Zyklus, der bei 14.316 startet. Ob manche aliquoten Folgen für immer wachsen, ohne sich je zu einem Zyklus zu schließen oder null zu erreichen, ist ein gefeiertes offenes Problem; die kleinste Zahl, deren Schicksal unbekannt ist, ist 276. NumberWiki zeigt den Anfang der aliquoten Folge auf der Seite jeder zusammengesetzten Zahl.

Was bekannt ist und was nicht

Moderne Computersuchen haben mehr als eine Milliarde befreundeter Paare gefunden. Dennoch bleiben die grundlegenden Fragen hartnäckig offen:

Befreundete Zahlen auf NumberWiki

Glieder eines befreundeten Paares werden automatisch erkannt und mit befreundet getaggt; die Seite zeigt außerdem die aliquote Summe der Zahl und den Anfang ihrer aliquoten Folge, sodass du beobachten kannst, wie die beiden Partner aufeinander weisen. Verwandte Familien: vollkommene Zahlen (aliquote Fixpunkte), abundante und defiziente Zahlen. Die Paare zum Einstieg: 220 & 284, 1.184 & 1.210, 2.620 & 2.924.

Weiterführende Literatur

Siehe auch