Les nombres premiers

Published juin 10, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Les nombres premiers — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … — sont les atomes de l'arithmétique : tout autre entier se construit en les multipliant entre eux, d'une seule et unique manière. Ce seul fait fait des nombres premiers les objets les plus importants de toute la théorie des nombres.

La définition, et pourquoi 1 n'est pas premier

Formellement, un entier p > 1 est premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. Un nombre supérieur à 1 qui n'est pas premier est composé — il peut s'écrire comme produit de deux entiers positifs plus petits. Ainsi 12 est composé (il vaut 3 × 4), tandis que 13 est premier (rien d'autre que 1 et 13 ne le divise).

Le nombre 1 est délibérément exclu des nombres premiers. Ce n'est pas un choix arbitraire — c'est ce qui rend le reste de l'arithmétique cohérent. Si 1 comptait comme premier, alors un nombre comme 12 aurait une infinité de « factorisations premières » (2 × 2 × 3, mais aussi 1 × 2 × 2 × 3, et 1 × 1 × 2 × 2 × 3, …), et l'unicité dont dépend toute la discipline s'effondrerait. Traiter 1 comme une unité plutôt que comme un nombre premier garde les factorisations uniques. Pour la même raison, 0 n'est ni premier ni composé.

Le théorème fondamental de l'arithmétique

La raison pour laquelle les nombres premiers comptent tant est un résultat si central qu'on l'appelle le théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier supérieur à 1 est soit premier, soit peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et ce produit est unique à l'ordre des facteurs près. Il existe une et une seule façon de décomposer un nombre en facteurs premiers.

Ainsi 60 vaut toujours 2² × 3 × 5 — aucune autre combinaison de nombres premiers ne donne 60 par multiplication. Cette unicité est ce qui nous permet de raisonner sur la divisibilité, les plus grands communs diviseurs, les fractions irréductibles et l'arithmétique modulaire. Chaque page de nombre sur ce site affiche cette factorisation en facteurs premiers près du haut ; c'est, en un sens très réel, l'ADN du nombre.

Il existe une infinité de nombres premiers

Vers 300 av. J.-C., Euclide a démontré dans ses Éléments que les nombres premiers ne s'épuisent jamais — l'un des plus anciens théorèmes encore enseignés essentiellement inchangé. Son argument est un modèle d'élégance. Supposons que vous disposiez d'une liste finie complète de tous les nombres premiers. Multipliez-les tous entre eux et ajoutez 1. Le nombre obtenu laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par chaque nombre premier de votre liste, donc aucun d'eux ne le divise — ce qui signifie soit qu'il est lui-même un nouveau nombre premier, soit qu'il possède un facteur premier que vous avez oublié. Dans les deux cas, votre liste « complète » était incomplète. Aucune liste finie ne peut tous les contenir, il existe donc une infinité de nombres premiers.

Bien que les nombres premiers soient infinis, ils se raréfient à mesure que l'on avance. Le théorème des nombres premiers, démontré en 1896, le précise : le nombre de nombres premiers inférieurs à n est environ égal à n ⁄ ln n. Autour d'un million, à peu près 1 nombre sur 14 est premier ; autour d'un billion, seulement 1 sur 27 environ. Les nombres premiers se raréfient, mais ils ne s'arrêtent jamais.

Comment teste-t-on si un nombre est premier ?

La méthode scolaire est la division d'essai : pour vérifier si n est premier, essayez de le diviser par chaque entier de 2 jusqu'à √n. Si aucun ne le divise exactement, n est premier. Il suffit d'aller jusqu'à la racine carrée, car si n avait un facteur supérieur à √n, il devrait aussi avoir un facteur correspondant inférieur à √n, que vous auriez déjà trouvé. La division d'essai est simple et fonctionne bien pour les petits nombres, mais elle devient désespérément lente pour les grands nombres utilisés en cryptographie.

Pour les nombres plus grands, les mathématiciens utilisent des tests de primalité probabilistes et déterministes bien plus rapides. Le test de Miller–Rabin peut certifier la primalité avec une confiance écrasante en une fraction infime du temps, et avec un ensemble fixe de témoins il devient un test garanti correct pour tout entier de 64 bits — ce qui est exactement la manière dont NumberWiki décide de la primalité sur chaque page. En 2002, l'algorithme AKS a démontré que la primalité peut être testée en temps polynomial dans le cas général, réglant une question théorique de longue date, bien que Miller–Rabin reste l'outil pratique de référence.

Le crible d'Ératosthène

Pour trouver d'un coup tous les nombres premiers jusqu'à une certaine limite, l'outil classique est le crible d'Ératosthène, nommé d'après le mathématicien grec qui dirigeait la Bibliothèque d'Alexandrie au troisième siècle av. J.-C. Écrivez chaque nombre de 2 jusqu'à votre limite. Entourez 2, puis barrez tous ses multiples. Entourez le nombre suivant non barré (3) et barrez tous ses multiples. Répétez. Les nombres qui survivent sans être barrés sont exactement les nombres premiers. Il a plus de deux mille ans et c'est encore essentiellement ainsi qu'on énumère les nombres premiers en masse aujourd'hui.

Familles de nombres premiers

Les théoriciens des nombres suivent de nombreuses familles particulières de nombres premiers, dont plusieurs que NumberWiki étiquette automatiquement :

• Nombres premiers jumeaux — des paires qui diffèrent de 2, comme (11, 13) ou (17, 19). Savoir s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux est l'un des problèmes ouverts les plus célèbres des mathématiques. Une percée de 2013 par Yitang Zhang a démontré qu'une infinité de paires de nombres premiers diffèrent d'un certain écart borné, et cette borne a depuis été abaissée de façon spectaculaire — mais l'écart d'exactement 2 reste non démontré.
• Nombres premiers de Mersenne — des nombres premiers valant un de moins qu'une puissance de deux, de la forme 2^p − 1, comme 3, 7, 31 et 127. Le plus grand nombre premier connu est presque toujours un nombre premier de Mersenne, car il existe un test spécialement efficace (le test de Lucas–Lehmer) pour eux. Le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) détient les records depuis des décennies.
• Nombres premiers de Sophie Germain — un nombre premier p tel que 2p + 1 soit également premier ; importants en cryptographie et dans l'histoire du dernier théorème de Fermat.
• Nombres premiers palindromes et autres nombres premiers à motif de chiffres — des nombres premiers qui se lisent de la même façon à l'envers, ou qui présentent d'autres curiosités en base 10. Ils sont récréatifs plutôt que profonds, mais ils sont amusants, et le site les signale.

La conjecture de Goldbach et autres problèmes ouverts

Malgré leur définition simple, les nombres premiers cachent certains des problèmes non résolus les plus difficiles des mathématiques. La conjecture de Goldbach (1742) affirme que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers — vérifiée par ordinateur pour tout nombre pair jusqu'à des centaines de trillions de milliards, mais toujours non démontrée dans le cas général. Chaque page de nombre pair sur ce site affiche une décomposition de Goldbach. L'hypothèse de Riemann, sur la distribution profonde des nombres premiers, est dotée d'un prix d'un million de dollars et est largement considérée comme le problème ouvert le plus important de toutes les mathématiques. La conjecture des nombres premiers jumeaux, mentionnée plus haut, en est un troisième. Que de telles questions élémentaires restent ouvertes après des siècles tient une grande part dans la fascination durable des nombres premiers.

Pourquoi les nombres premiers comptent en dehors des mathématiques

Les nombres premiers ne sont pas qu'une curiosité. La cryptographie à clé publique moderne — l'algorithme RSA qui contribue à sécuriser le trafic web, la banque et la messagerie — repose directement sur une asymétrie frappante : il est facile de multiplier deux grands nombres premiers entre eux, mais extraordinairement difficile de partir du produit et de retrouver les nombres premiers d'origine. Multipliez deux nombres premiers de 300 chiffres et le résultat est trivial à calculer ; factorisez ce produit de 600 chiffres pour retrouver ses nombres premiers et les ordinateurs les plus rapides connus mettraient plus de temps que l'âge de l'univers. La sécurité d'une grande partie du monde numérique repose sur la difficulté de « démultiplier » les nombres premiers.

Les nombres premiers sur NumberWiki

Chaque page de nombre sur ce site calcule la primalité de façon déterministe et, pour les nombres composés, affiche la factorisation unique en facteurs premiers, la liste complète des diviseurs et les paires de facteurs. Les pages de nombres premiers sont étiquetées premier, et les familles particulières ont leurs propres étiquettes que vous pouvez parcourir — par exemple les nombres premiers de Mersenne, les nombres premiers jumeaux et les palindromes. Quelques nombres premiers à explorer : 2 (le seul nombre premier pair), le voisinage de 1729, le nombre premier de Mersenne 8191, et le plus grand nombre premier inférieur à dix mille, 9973.

Pour aller plus loin

• Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (HarperCollins, 2003) — un exposé de vulgarisation accessible sur l'hypothèse de Riemann et la distribution des nombres premiers.
• G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (Oxford University Press, 6^e éd. 2008) — la référence rigoureuse classique.
• Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2^e éd. 2004) — un tour convivial des records de nombres premiers et des familles particulières.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A000040 — les nombres premiers eux-mêmes.

Voir aussi

• Nombres de Fibonacci — une autre suite d'entiers célèbre d'une profondeur surprenante.
• Tous les nombres premiers sur NumberWiki →
• 2 · 7 · 127 · 8191 — des nombres premiers qui valent le coup d'œil.