Números primos

Published junio 10, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

Un número primo es un número entero mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Los primos —2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …— son los átomos de la aritmética: todos los demás números enteros se construyen multiplicándolos entre sí, de una única manera. Ese simple hecho convierte a los primos en los objetos más importantes de toda la teoría de números.

La definición, y por qué el 1 no es primo

Formalmente, un entero p > 1 es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un número mayor que 1 que no es primo se llama compuesto: puede escribirse como producto de dos enteros positivos menores. Así, 12 es compuesto (es igual a 3 × 4), mientras que 13 es primo (no lo divide nada salvo 1 y 13).

El número 1 se excluye deliberadamente de los primos. No es una elección arbitraria: es lo que mantiene ordenado el resto de la aritmética. Si el 1 contara como primo, un número como 12 tendría infinitas «factorizaciones en primos» (2 × 2 × 3, pero también 1 × 2 × 2 × 3, y 1 × 1 × 2 × 2 × 3, …), y la unicidad de la que depende toda la materia se vendría abajo. Tratar el 1 como una unidad en lugar de como un primo mantiene únicas las factorizaciones. Por la misma razón, el 0 no es ni primo ni compuesto.

El teorema fundamental de la aritmética

La razón por la que los primos importan tanto es un resultado tan central que se denomina teorema fundamental de la aritmética: todo entero mayor que 1 es primo o puede escribirse como producto de primos, y ese producto es único salvo por el orden de los factores. Hay una y solo una manera de descomponer un número en primos.

Así, 60 es siempre 2² × 3 × 5: ninguna otra combinación de primos da 60 al multiplicarse. Esta unicidad es lo que nos permite razonar sobre divisibilidad, máximos comunes divisores, fracciones irreducibles y aritmética modular. Cada página de número de este sitio muestra esta factorización en primos cerca de la parte superior; es, en un sentido real, el ADN del número.

Hay infinitos primos

Hacia el año 300 a. C., Euclides demostró en sus Elementos que los primos nunca se agotan, uno de los teoremas más antiguos que aún se enseña esencialmente sin cambios. Su argumento es un modelo de elegancia. Supongamos que tuvieras una lista finita completa de todos los primos. Multiplícalos todos y súmale 1. El número resultante deja resto 1 al dividirlo por cualquier primo de tu lista, así que ninguno de ellos lo divide, lo cual significa que o bien es él mismo un primo nuevo, o bien tiene un factor primo que se te escapó. En cualquier caso, tu lista «completa» estaba incompleta. Ninguna lista finita puede contenerlos todos, de modo que hay infinitos primos.

Aunque los primos son infinitos, se vuelven más escasos a medida que avanzamos. El teorema de los números primos, demostrado en 1896, lo precisa: la cantidad de primos por debajo de n es aproximadamente n ⁄ ln n. Cerca de un millón, alrededor de 1 de cada 14 números es primo; cerca de un billón, solo 1 de cada 27 aproximadamente. Los primos se enrarecen, pero nunca se detienen.

¿Cómo se comprueba si un número es primo?

El método de toda la vida es la división por tentativa: para comprobar si n es primo, intenta dividirlo por cada entero desde 2 hasta √n. Si ninguno lo divide de forma exacta, n es primo. Solo hace falta llegar hasta la raíz cuadrada, porque si n tuviera un factor mayor que √n, también tendría que tener un factor correspondiente menor que √n, que ya habrías encontrado. La división por tentativa es sencilla y funciona bien para números pequeños, pero se vuelve irremediablemente lenta para los números grandes que se usan en criptografía.

Para números mayores, los matemáticos emplean pruebas de primalidad probabilísticas y deterministas que son enormemente más rápidas. La prueba de Miller–Rabin puede certificar la primalidad con una confianza abrumadora en una fracción ínfima del tiempo, y con un conjunto fijo de testigos se convierte en una prueba garantizada para todo entero de 64 bits, que es exactamente como NumberWiki decide la primalidad en cada página. En 2002, el algoritmo AKS demostró que la primalidad puede comprobarse en tiempo polinómico en general, zanjando una vieja cuestión teórica, aunque Miller–Rabin sigue siendo el caballo de batalla en la práctica.

La criba de Eratóstenes

Para hallar todos los primos hasta cierto límite de una vez, la herramienta clásica es la criba de Eratóstenes, llamada así por el matemático griego que dirigió la Biblioteca de Alejandría en el siglo III a. C. Escribe todos los números desde 2 hasta tu límite. Rodea el 2 y tacha todos sus múltiplos. Rodea el siguiente número sin tachar (el 3) y tacha todos sus múltiplos. Repite. Los números que quedan sin tachar son exactamente los primos. Tiene más de dos mil años y sigue siendo, en esencia, como se enumeran los primos en bloque hoy en día.

Familias de primos

Los teóricos de los números siguen muchas familias especiales de primos, varias de las cuales NumberWiki etiqueta automáticamente:

• Primos gemelos: pares que se diferencian en 2, como (11, 13) o (17, 19). Que existan infinitos primos gemelos es uno de los problemas abiertos más famosos de las matemáticas. Un avance de 2013 a cargo de Yitang Zhang demostró que infinitos pares de primos se diferencian en algún salto acotado, y desde entonces la cota se ha reducido drásticamente, pero el salto de exactamente 2 sigue sin demostrarse.
• Primos de Mersenne: primos que son una unidad menos que una potencia de dos, de la forma 2^p − 1, como 3, 7, 31 y 127. El mayor primo conocido casi siempre es un primo de Mersenne, porque existe una prueba especialmente eficiente para ellos (la prueba de Lucas–Lehmer). La Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet (GIMPS) lleva décadas encontrando los poseedores del récord.
• Primos de Sophie Germain: un primo p tal que 2p + 1 también es primo; importantes en criptografía y en la historia del último teorema de Fermat.
• Primos capicúa y otros primos con patrones de dígitos: primos que se leen igual al revés, o que presentan otras curiosidades en base 10. Son recreativos más que profundos, pero resultan divertidos, y el sitio los señala.

La conjetura de Goldbach y otros problemas abiertos

Pese a su definición tan sencilla, los primos esconden algunos de los problemas sin resolver más difíciles de las matemáticas. La conjetura de Goldbach (1742) afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos, verificada por ordenador para todos los pares hasta los cientos de trillones, y aún así sin demostrar en general. Cada página de un número par de este sitio muestra una descomposición de Goldbach. La hipótesis de Riemann, sobre la distribución profunda de los primos, lleva aparejado un premio de un millón de dólares y se considera el problema abierto más importante de todas las matemáticas. La conjetura de los primos gemelos, mencionada antes, es un tercero. Que cuestiones tan elementales sigan abiertas tras siglos es buena parte del atractivo perdurable de los primos.

Por qué los primos importan fuera de las matemáticas

Los primos no son una mera curiosidad. La criptografía de clave pública moderna —el algoritmo RSA que ayuda a proteger el tráfico web, la banca y la mensajería— se apoya directamente en una asimetría llamativa: es fácil multiplicar dos primos grandes, pero extraordinariamente difícil tomar el producto y recuperar los primos originales. Multiplica dos primos de 300 dígitos y el resultado es trivial de calcular; factoriza ese producto de 600 dígitos para recuperar sus primos y los ordenadores más rápidos conocidos tardarían más que la edad del universo. La seguridad de buena parte del mundo digital descansa en la dificultad de «des-multiplicar» primos.

Los primos en NumberWiki

Cada página de número de este sitio calcula la primalidad de forma determinista y, para los números compuestos, muestra la factorización en primos única, la lista completa de divisores y los pares de factores. Las páginas de primos llevan la etiqueta primo, y las familias especiales tienen sus propias etiquetas que puedes explorar; por ejemplo, los primos de Mersenne, los primos gemelos y los capicúas. Algunos primos para explorar: 2 (el único primo par), el vecindario de 1729, el primo de Mersenne 8191 y el mayor primo por debajo de diez mil, 9973.

Para seguir leyendo

• Marcus du Sautoy, The Music of the Primes (HarperCollins, 2003): un relato divulgativo y accesible sobre la hipótesis de Riemann y la distribución de los primos.
• G. H. Hardy y E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (Oxford University Press, 6.ª ed. 2008): la referencia rigurosa clásica.
• Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes (Springer, 2.ª ed. 2004): un recorrido ameno por los récords de primos y las familias especiales.
• La Enciclopedia en Línea de Sucesiones de Enteros (OEIS), sucesión A000040: los propios primos.

Véase también

• Números de Fibonacci: otra famosa sucesión de enteros con una profundidad sorprendente.
• Todos los números primos en NumberWiki →
• 2 · 7 · 127 · 8191: primos que merece la pena mirar.