Les nombres de Fibonacci

Published juin 12, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

La suite de Fibonacci — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … — est la suite d'entiers la plus célèbre des mathématiques. Chaque nombre est la somme des deux précédents, une règle si simple qu'un enfant peut la poursuivre, et pourtant elle se relie au nombre d'or, à la géométrie des plantes et à une quantité surprenante de théorie des nombres profonde.

La règle

Commencez par 0 et 1. Additionnez-les pour obtenir 1. Additionnez les deux derniers pour obtenir 2. Continuez ainsi : chaque terme est la somme des deux précédents. En symboles, F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n−1) + F(n−2) pour tout n ≥ 2. Cette récurrence engendre la suite tout entière à l'infini :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Vous pouvez consulter plusieurs d'entre eux sous forme de pages actives ici : 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55, 89 et 144 — qui est à la fois un nombre de Fibonacci et un carré parfait (12²), le seul carré non trivial de toute la suite.

Léonard de Pise et les lapins

La suite doit son nom à Léonard de Pise, connu sous le nom de Fibonacci («fils de Bonacci»), qui l'introduisit dans les mathématiques européennes dans son ouvrage de 1202 Liber Abaci. Il la posa comme une énigme sur l'élevage idéalisé de lapins : à partir d'un couple, si chaque couple produit un nouveau couple chaque mois et que les couples deviennent féconds au bout d'un mois, combien y a-t-il de couples au bout d'un an ? Les totaux mensuels sont exactement les nombres de Fibonacci.

Les lapins ne sont qu'un modèle simplifié, mais la plus grande réalisation de Fibonacci fut le livre lui-même : Liber Abaci fut l'une des œuvres qui apportèrent les chiffres décimaux indo-arabes — les chiffres 0–9 que nous utilisons aujourd'hui — à une Europe qui peinait encore avec les chiffres romains. La suite avait en fait été décrite des siècles plus tôt par des savants indiens (Pingala, Virahanka, Hemachandra) dans le contexte de la métrique poétique, mais c'est le nom de Fibonacci qui s'est imposé en Occident.

Le nombre d'or

Voici la plus belle propriété de la suite. Divisez chaque nombre de Fibonacci par le précédent — 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615 — et les rapports convergent vers un unique nombre :

φ = (1 + √5) ⁄ 2 ≈ 1,6180339887…

C'est le nombre d'or, φ («phi»). Plus vous avancez, plus les rapports de Fibonacci consécutifs s'en approchent. Le lien est plus profond qu'une simple limite : il existe une expression close, la formule de Binet, qui donne directement le n-ième nombre de Fibonacci à partir de φ, sans avoir besoin d'additionner tous les termes précédents —

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ⁄ √5, où ψ = (1 − √5) ⁄ 2.

On dirait qu'elle devrait produire des nombres irrationnels, et pourtant les deux morceaux irrationnels s'annulent toujours pour laisser un nombre entier. NumberWiki affiche le chiffre à une position donnée de φ et de √5 sur ses pages de nombres, un petit clin d'œil à ce lien.

Pourquoi elle apparaît dans la nature

Les nombres de Fibonacci se rencontrent remarquablement souvent chez les êtres vivants : le nombre de pétales de nombreuses fleurs (3, 5, 8, 13, 21…), le nombre de spirales de graines dans un capitule de tournesol, les écailles d'une pomme de pin, la ramification de certaines plantes. Ce n'est pas du mysticisme — c'est de l'efficacité. Lorsqu'une plante fait croître de nouveaux éléments (feuilles, graines, fleurons) selon un angle constant autour d'une tige, l'angle qui les répartit le plus uniformément sans chevauchement est l'«angle d'or» d'environ 137,5°, qui découle directement de φ. Une croissance régie par cet angle produit naturellement des dénombrements de Fibonacci dans les spirales obtenues. La suite apparaît parce qu'elle est l'arithmétique de l'empilement optimal, et non parce que la nature sait compter.

Il faut être honnête : la suite de Fibonacci fait aussi l'objet de nombreuses surinterprétations — dans l'art, l'architecture et la Bourse, on l'affirme fréquemment là où les preuves sont minces. Les apparitions authentiques en phyllotaxie (la disposition des feuilles) sont réelles et bien comprises ; beaucoup des affirmations culturelles relèvent d'une reconnaissance de motifs après coup.

Une structure mathématique cachée

Sous leur surface accueillante, les nombres de Fibonacci sont étonnamment riches :

• La divisibilité reflète les indices. F(m) divise F(n) exactement lorsque m divise n. Et le plus grand commun diviseur de deux nombres de Fibonacci est lui-même un nombre de Fibonacci : pgcd(F(m), F(n)) = F(pgcd(m, n)).
• Tout entier positif peut s'écrire de manière unique comme une somme de nombres de Fibonacci non consécutifs — le théorème de Zeckendorf — ce qui fournit une sorte de «base de Fibonacci» pour les entiers.
• Les sommes se télescopent élégamment. Les n premiers nombres de Fibonacci ont pour somme F(n+2) − 1, et la somme de leurs carrés, F(1)² + … + F(n)², est égale à F(n) · F(n+1) — un fait doté d'une jolie démonstration visuelle faisant appel à des carrés emboîtés.
• Les nombres de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …) suivent la même règle d'addition des deux derniers à partir d'un autre point de départ et sont intimement entrelacés avec les nombres de Fibonacci.

Fibonacci sur NumberWiki

Les nombres de la suite portent l'étiquette Fibonacci — parcourez-les tous là-bas — et les nombres de Lucas, étroitement apparentés, ont leur propre étiquette. Comme l'appartenance à Fibonacci est rare (à peine une trentaine de nombres de Fibonacci se situent en dessous de dix millions), le site la traite comme une propriété éditorialement significative : une page Fibonacci n'est jamais «maigre». Chacune montre la factorisation du nombre, le contexte de la suite qui l'entoure et la façon dont il se rend dans les systèmes de numération historiques.

Pour aller plus loin

• Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi (Broadway Books, 2002) — une histoire de vulgarisation soignée et démystificatrice de φ et des nombres de Fibonacci.
• Alfred S. Posamentier et Ingmar Lehmann, The Fabulous Fibonacci Numbers (Prometheus, 2007) — une plongée accessible et approfondie dans les propriétés de la suite.
• «Fibonacci Numbers and the Golden Section» de Ronald Knott — une ressource pédagogique de longue date et exhaustive.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, suite A000045 — les nombres de Fibonacci.

Voir aussi

• Nombres premiers — les briques élémentaires de l'arithmétique.
• Tous les nombres de Fibonacci sur NumberWiki →
• 144 — le seul nombre de Fibonacci qui soit aussi un carré parfait.
• 6765 — le vingtième nombre de Fibonacci.