Los números de Fibonacci

Published junio 12, 2026 · By NumberWiki

Category Concepts

La sucesión de Fibonacci —0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …— es la sucesión de enteros más famosa de las matemáticas. Cada número es la suma de los dos anteriores, una regla tan sencilla que un niño puede continuarla y, sin embargo, conecta con la razón áurea, la geometría de las plantas y una sorprendente cantidad de teoría de números profunda.

La regla

Empieza con 0 y 1. Súmalos para obtener 1. Suma los dos últimos para obtener 2. Sigue así: cada término es la suma de los dos anteriores. En símbolos, F(0) = 0, F(1) = 1 y F(n) = F(n−1) + F(n−2) para todo n ≥ 2. Esa recurrencia genera toda la sucesión para siempre:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Puedes leer varios de estos como páginas activas aquí: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55, 89 y 144 —que es a la vez un número de Fibonacci y un cuadrado perfecto (12²), el único cuadrado no trivial de toda la sucesión.

Leonardo de Pisa y los conejos

La sucesión recibe su nombre de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci («hijo de Bonacci»), que la introdujo en las matemáticas europeas en su libro de 1202 Liber Abaci. La planteó como un acertijo sobre la cría idealizada de conejos: partiendo de una pareja, si cada pareja produce una nueva pareja cada mes y las parejas se vuelven fértiles al cabo de un mes, ¿cuántas parejas hay después de un año? Los totales mensuales son exactamente los números de Fibonacci.

Los conejos son un modelo de juguete, pero el mayor logro de Fibonacci fue el libro en sí: Liber Abaci fue una de las obras que llevaron los numerales decimales indoarábigos —los dígitos 0–9 que usamos hoy— a una Europa que aún se afanaba con los numerales romanos. De hecho, la sucesión ya había sido descrita siglos antes por eruditos indios (Pingala, Virahanka, Hemachandra) en el contexto de la métrica poética, pero fue el nombre de Fibonacci el que perduró en Occidente.

La razón áurea

He aquí la propiedad más hermosa de la sucesión. Divide cada número de Fibonacci por el anterior —3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615— y los cocientes se aproximan a un único número:

φ = (1 + √5) ⁄ 2 ≈ 1,6180339887…

Esta es la razón áurea, φ («fi»). Cuanto más avanzas, más se acercan a ella los cocientes de Fibonacci consecutivos. La conexión es más profunda que un simple límite: existe una expresión cerrada, la fórmula de Binet, que da directamente el n-ésimo número de Fibonacci a partir de φ, sin necesidad de sumar todos los términos anteriores:

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ⁄ √5, donde ψ = (1 − √5) ⁄ 2.

Parece que debería producir números irracionales y, sin embargo, las dos piezas irracionales siempre se cancelan para dejar un número entero. NumberWiki muestra el dígito en una posición dada de φ y √5 en sus páginas de números, un pequeño guiño a esta conexión.

Por qué aparece en la naturaleza

Los números de Fibonacci aparecen notablemente a menudo en los seres vivos: el número de pétalos de muchas flores (3, 5, 8, 13, 21…), los recuentos en espiral de las semillas en una cabeza de girasol, las protuberancias de una piña, la ramificación de algunas plantas. Esto no es misticismo: es eficiencia. Cuando una planta hace crecer nuevos elementos (hojas, semillas, flósculos) con un ángulo constante alrededor de un tallo, el ángulo que los empaqueta de la forma más uniforme sin solaparse es el «ángulo áureo» de unos 137,5°, que procede directamente de φ. El crecimiento gobernado por ese ángulo produce de forma natural recuentos de Fibonacci en las espirales resultantes. La sucesión aparece porque es la aritmética del empaquetamiento óptimo, no porque la naturaleza sepa contar.

Conviene ser honestos y reconocer que de la sucesión de Fibonacci también se hacen muchas afirmaciones excesivas: en el arte, la arquitectura y la bolsa se la invoca con frecuencia donde las pruebas son escasas. Las apariciones genuinas en la filotaxis (la disposición de las hojas) son reales y están bien entendidas; muchas de las afirmaciones culturales son reconocimiento de patrones a posteriori.

Estructura matemática oculta

Bajo su superficie amable, los números de Fibonacci son asombrosamente ricos:

• La divisibilidad refleja los índices. F(m) divide a F(n) exactamente cuando m divide a n. Y el máximo común divisor de dos números de Fibonacci es a su vez un número de Fibonacci: mcd(F(m), F(n)) = F(mcd(m, n)).
• Todo entero positivo puede escribirse de forma única como una suma de números de Fibonacci no consecutivos —el teorema de Zeckendorf— lo que da una especie de «base de Fibonacci» para los enteros.
• Las sumas se telescopian con elegancia. Los primeros n números de Fibonacci suman F(n+2) − 1, y la suma de sus cuadrados, F(1)² + … + F(n)², es igual a F(n) · F(n+1) —un hecho con una preciosa demostración visual mediante cuadrados anidados.
• Los números de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …) siguen la misma regla de sumar los dos últimos a partir de un inicio distinto y están íntimamente entrelazados con los números de Fibonacci.

Fibonacci en NumberWiki

Los números de la sucesión están etiquetados como Fibonacci — puedes verlos todos ahí— y los estrechamente relacionados números de Lucas tienen su propia etiqueta. Como la pertenencia a Fibonacci es poco frecuente (solo unos 30 números de Fibonacci están por debajo de diez millones), el sitio la trata como una propiedad editorialmente significativa: una página de Fibonacci nunca es «pobre». Cada una muestra la factorización del número, el contexto de la sucesión que lo rodea y cómo se representa en los sistemas de numeración históricos.

Para saber más

• Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi (Broadway Books, 2002) — una cuidadosa historia divulgativa, desmitificadora, de φ y los números de Fibonacci.
• Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann, The Fabulous Fibonacci Numbers (Prometheus, 2007) — una inmersión accesible y profunda en las propiedades de la sucesión.
• «Fibonacci Numbers and the Golden Section» de Ronald Knott — un recurso educativo veterano y exhaustivo.
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, sucesión A000045 — los números de Fibonacci.

Véase también

• Números primos — los bloques de construcción de la aritmética.
• Todos los números de Fibonacci en NumberWiki →
• 144 — el único número de Fibonacci que es además un cuadrado perfecto.
• 6765 — el vigésimo número de Fibonacci.